[論文レビュー] Variational analysis of the discontinuous Galerkin time-stepping method for parabolic equations

Norikazu Saito|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2017

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 24被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、ヒルベルト空間における抽象的変分方程式を用いて、放物型方程式に対する不連続ガラーキン（dG）時間積分法の新規な変分的解析を提示する。離散的インフラ・サブ条件を確立し、変分的定式化を活用することで、dG法およびその有限要素時間空間近似について、ほぼ最良の近似性質と最適順序の誤差推定を得た。変数係数を有する問題や任意の多項式次数に対しても、解析が簡素化される。

ABSTRACT

The discontinuous Galerkin (DG) time-stepping method applied to abstract evolution equation of parabolic type is studied using a variational approach. We establish the inf-sup condition or Babuška--Brezzi condition for the DG bilinear form. Then, a nearly best approximation property and a nearly symmetric error estimate are obtained as corollaries. Moreover, the optimal order error estimates under appropriate regularity assumption on the solution are derived as direct applications of the standard interpolation error estimates. Our method of analysis is new for the DG time-stepping method; it differs from previous works by which the method is formulated as the one-step method. We apply our abstract results to the finite element approximation of a second order parabolic equation with space-time variable coefficient functions in a polyhedral domain, and derive the optimal order error estimates in several norms.

研究の動機と目的

• 抽象的放物型進化方程式に対する不連続ガラーキン（dG）時間積分法を分析するための新しい変分的アプローチを開発すること。
• dG双一次形式の離散的インフラ・サブ条件を確立し、安定な誤差解析を可能にする。
• インフラ・サブ条件の帰結として、ほぼ最良の近似およびほぼ対称的な誤差推定を導出すること。
• 2階放物型方程式の有限要素近似に、抽象的結果を適用すること。
• 標準的な正則性仮定の下で、複数のノルムにおける最適順序の誤差推定を取得すること。

提案手法

• 時間に依存する強制的かつ有界な作用素を伴うヒルベルト三重体 $V \subset H \subset V'$ における抽象的進化方程式として放物型問題を定式化する。
• 時間方向に次数 $q$ の区分的多項式を用いた空間時間領域におけるガラーキン近似として、dG$(q)$ 法を定義する。
• 時間分割に応じた特別なDGノルムを導入し、離散的インフラ・サブ条件を解析する。
• 双対性による議論と離散的試験空間および試行空間におけるノルムの同値性を用いて、離散的インフラ・サブ条件を証明する。
• 連続的および離散的インフラ・サブ条件を応用し、ほぼ最良の近似および対称的誤差推定を導出する。
• 標準的な補間誤差推定と抽象的誤差枠組みを用いて、$L^2(J;H)$、$H^1(J;H^{-1})$、$L^2(J;V)$ ノルムにおける最適順序の誤差境界を取得する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 変数係数を有する問題に対して、従来の1ステップ形式を避ける変分的枠組みにより、dG$(q)$ 法を解析可能か？
• RQ2 離散的インフラ・サブ条件は、放物型方程式に対するdG$(q)$ 法の安定性と収束性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ3 抽象的設定において、インフラ・サブ条件からどのようにほぼ最良の近似および対称的誤差推定が導かれるか？
• RQ4 空間時間変数係数を有する2階放物型方程式に適用したdG$(q)$ 有限要素法の最適収束率は何か？
• RQ5 抽象的変分的枠組みを拡張して、$L^2(J;H)$ や $H^1(J;H^{-1})$ などの複数のノルムにおける誤差推定を導出可能か？

主な発見

• dG双一次形式の離散的インフラ・サブ条件が確立され、安定性および収束の証明に不可欠な基盤が得られた。
• インフラ・サブ条件の帰結として、ほぼ最良の近似およびほぼ対称的な誤差推定が直接導出された。
• 適切な正則性仮定の下で、$L^2(J;H)$ および $H^1(J;H^{-1})$ ノルムにおいて、最適順序 $O(h^k + \tau^{q+1})$ の誤差推定が得られた。
• 有限要素近似において、$L^2(J;V)$ ノルムでも最適順序 $O(h^k + \tau^{q+1})$ の収束が達成された。
• 変数係数問題や任意の $q$ に対し、1ステップ形式の複雑さを回避できるため、解析が著しく簡素化された。
• 多面体領域における空間時間変数係数付き2階放物型方程式への応用を通じて、フレームワークの妥当性が検証された。