[論文レビュー] Variational approach to regularity of optimal transport maps: general cost functions

Félix Otto, Maxime Prod’homme+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 22, 2020

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 27被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、一般のコスト関数を用いた最適輸送写像の𝜖正則性に関する変分的証明を提示し、先行研究を Hölder連続密度へと拡張する。2次コスト関数に対するほぼ最小性と、Euler枠組みにおける調和近似を活用することで、1回のCampanato反復でC²,𝛼正則性を達成し、第二階微分の Hölder 範囲に対する鋭い、線形型の推定式を得る。この推定式はコスト関数の混合微分に自然に依存する。

ABSTRACT

We extend the variational approach to regularity for optimal transport maps initiated by Goldman and the first author to the case of general cost functions. Our main result is an $\epsilon$-regularity result for optimal transport maps between H\"older continuous densities slightly more quantitative than the result by De Philippis-Figalli. One of the new contributions is the use of almost-minimality: if the cost is quantitatively close to the Euclidean cost function, a minimizer for the optimal transport problem with general cost is an almost-minimizer for the one with quadratic cost. This further highlights the connection between our variational approach and De Giorgi's strategy for $\epsilon$-regularity of minimal surfaces.

研究の動機と目的

• 最適輸送写像の正則性に対する変分的アプローチを、ユークリッドコストから一般コスト関数へと拡張すること。
• Hölder連続密度間の最適輸送写像に対して、コスト関数の混合微分に定量的依存する𝜖正則性結果を確立すること。
• Ma–Trudinger–Wang 条件のような強い構造的仮定を回避する統一的枠組みを提供すること、特にリーマン多様体において重要である。
• ほぼ最小性と調和近似に基づく変分的戦略が、従来の手法よりも鋭く、より自然な正則性推定式を生み出すこと。

提案手法

• ほぼ最小性の概念を導入：コスト関数が2次コスト関数に近い場合、一般コスト関数の最小化子は2次コスト関数のほぼ最小化子である。
• 最適輸送のEuler的定式化を用いる。ここで、フラックス-密度対はNeumann境界条件を伴う二次的汎関数の最小化子である。
• 調和近似を適用：コスト関数が2次関数に近い点の近傍では、輸送写像はEuler枠組みにおいて調和関数によってよく近似される。
• フラックス-密度対の最小性を活用し、解が調和関数に近いことに基づく1ステップ改善補題を実装する。
• 1ステップ改善補題を用いたCampanato反復を実施。調和関数の線形構造に依存することで、1ステップでC²,𝛼正則性を達成する。
• 座標変換と測度を保つ摂動（対合と方向の平均化を用いて）を用い、L¹およびL²ノルムにおける変位を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最適輸送の正則性に対する変分的アプローチを、2次コスト関数を超えて一般コスト関数へと拡張可能か？
• RQ2 最適輸送写像の正則性は、コスト関数の混合微分のHölderノルムにどのように定量的に依存するか？
• RQ3 Monge–Ampère方程式や最大原理に依存せずに、2次コスト関数に対するほぼ最小性を用いて𝜖正則性を導出可能か？
• RQ4 C²,𝛼正則性推定式は、コスト関数の混合微分のHölder半ノルムに対してどのように鋭く依存するか？
• RQ5 Campanato反復を単一ステップでC²,𝛼正則性を達成できるように簡略化可能か、複数ステップを経るのではなく？

主な発見

• 本稿は、Hölder連続密度間の一般コスト関数を用いた最適輸送写像に対して𝜖正則性結果を確立し、De PhilippisとFigalliの結果を定量的に改善する。
• 正則性推定式は線形方程式と同一の同次性を示す：第二階微分のHölder半ノルムは、密度のHölder半ノルムとコスト関数の混合微分のHölder半ノルムによって上から抑えられる。
• 従来の手法が3段階の逐次的ステップ（C¹,¹⁻ → C¹,¹ → C²,𝛼）を要するのに対し、本手法は1回のCampanato反復でC²,𝛼正則性を達成する。
• コスト関数への依存は最適である：∇ₓᵧ𝑐のHölderノルムは、輸送写像の第二階微分の正則性と一致する。
• L²変位のバインドは、対合と方向の平均化を用いた測度を保つ摂動の議論により導出され、弱Lᵖ推定式が得られる。
• 最終的な推定式は、‖𝑢‖_{L^p(B_{R₁/4})} ≲ R₁^{d/p} ‖𝑢‖_{L²(B_{R₁})}^{1/(d+2)} の形をとり、弱型制御を示し、Campanato反復を閉じるために用いられる。