[論文レビュー] Variational construction of homoclinics and chaos in presence of a saddle-saddle equilibrium

Massimiliano Berti, Philippe Bolle|ArXiv.org|Sep 19, 2000

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 5被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、非退化性およびホモクライン軌道の幾何的条件の下で、変分法を用いて2自由度のラグランジュ系に無限個のマルチバンプホモクライン軌道と正の位相的エントロピーの存在を確立した。従来の結果を拡張し、横断性の仮定を弱い位相的非退化性条件に緩和した。特に固有値が近接する場合に有効であり、ホースシューズ構成を用いてゼロエネルギーにおけるカオス的ダイナミクスを証明した。

ABSTRACT

We consider autonomous Lagrangian systems with two degrees of freedom, having an hyperbolic equilibrium of saddle-saddle type (that is the eingenvalues of the linearized system about the equilibrium are $\pm λ_1, \pm λ_2 $, $λ_1, λ_2 > 0$). We assume that $λ_1 > λ_2$ and that the system possesses two homoclinic orbits. Under a nondegeneracy assumption on the homoclinics and under suitable conditions on the geometric behaviour of these homoclinics near the equilibrium we prove, by variational methods, then they give rise to an infinite family of multibump homoclinic solutions and that the topological entropy at the zero energy level is positive. A method to deal also with homoclinics satisfying a weaker nondegeneracy condition is developed and it is applied, for simplicity, when $λ_1 \approx λ_2$. An application to a perturbation of a uncoupled system is also given.

研究の動機と目的

• 2自由度のラグランジュ系に無限個のマルチバンプホモクライン解が存在することを証明すること。
• ゼロエネルギー準位で正の位相的エントロピーを確立し、カオス的ダイナミクスを示すこと。
• 固有値λ₁とλ₂が近接する場合に特に有効な、横断性よりも弱い非退化性条件の下で動作する変分法を開発すること。
• ホルムズのゼロエネルギーにおけるカオスの結果を、厳密な横断性を位相的非退化性条件に置き換えることで拡張すること。
• 結合されていない系の摂動に適用可能なフレームワークを提供し、その具体的応用を提示すること。

提案手法

• 作用関数を周期的および準周期的ループの上での最小化により、マルチバンプホモクライン軌道を構成するための変分法の使用。
• 平衡点近傍での無限次元問題を有限次元問題に還元するためのラプラス＝シュミット還元の適用。
• 安定・不安定多様体の位相的横断性に基づく非退化性条件（S2′）の導入。これは古典的横断性よりも弱い。
• 位相シフトを制御した単一ホモクライン軌道のセグメントを接着することで、マルチバンプ解の族を構成。
• 時間スケールdに対する作用関数のスケーリングのための変数変換t = sdの使用と、解の族のエネルギー依存性の分析。
• 作用関数の時間スケールdに関する微分を導出し、それがエネルギーの負に等しいことを示した。解に沿ってエネルギーは一定であるため、これはエネルギー保存を裏付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つのホモクライン軌道を有する鞍-鞍ラグランジュ系がゼロエネルギーでカオス的ダイナミクスを示す条件は何か？
• RQ2 マルチバンプ解の変分的構成において、古典的横断性仮定を弱い非退化性条件に置き換えることは可能か？
• RQ3 平衡点近傍におけるホモクライン軌道の幾何的挙動は、マルチバンプ解の存在および位相的エントロピーにどのように影響するか？
• RQ4 固有値の近接性（λ₁ ≈ λ₂）は、非退化性を緩和した場合にカオス的ダイナミクスの構成を可能にする役割を果たすか？
• RQ5 標準的な非退化性条件の検証が困難な系において、変分法をどのように適合させることができるか？

主な発見

• 非退化性および幾何的条件（H1–H4）の下で、系は無限個のマルチバンプホモクライン解を有する。
• ゼロエネルギー準位で正の位相的エントロピーが証明され、カオス的ダイナミクスの存在が確認された。
• 非退化性条件（S2′）— 位相的非退化性 — は、マルチバンプ解の存在を保証するのに十分であり、横断性が成立しない場合でも有効である。
• λ₁ ≈ λ₂ の場合、本手法は弱い条件（S2′）の下でも適用可能であり、横断的でない場合の結果を拡張する。
• 作用関数の時間スケールdに関する微分は−ℰ(d)に等しく、ℰ(d)が一定であるため、エネルギー保存が裏付けられ、変分的枠組みの妥当性が支持された。
• 結合されていない系の摂動への応用により、本手法が現実的な物理的モデルに適用可能であることが確認された。