[論文レビュー] Variational-Correlations Approach to Quantum Many-body Problems

Arbel Haim, Richard Kueng+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 17, 2020

Advanced Chemical Physics Studies被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、相関関数を変分パラメータとして扱うことで、量子多体系の基底状態を近似するための変分的相関関数（VC）手法を導入する。系のサイズに線形にスケーリングする相関行列を通じて、密度行列の正定値性を段階的に強制することにより、基底状態エネルギーの下界が得られ、1次元スピン1/2系において長距離相関を的確に捉え、収束するエネルギー推定値を達成する。

ABSTRACT

We investigate an approach for studying the ground state of a quantum many-body Hamiltonian that is based on treating the correlation functions as variational parameters. In this approach, the challenge set by the exponentially-large Hilbert space is circumvented by approximating the positivity of the density matrix, order-by-order, in a way that keeps track of a limited set of correlation functions. In particular, the density-matrix description is replaced by a correlation matrix whose dimension is kept linear in system size, to all orders of the approximation. Unlike the conventional variational principle which provides an upper bound on the ground-state energy, in this approach one obtains a lower bound instead. By treating several one-dimensional spin $1/2$ Hamiltonians, we demonstrate the ability of this approach to produce long-range correlations, and a ground-state energy that converges to the exact result. Possible extensions, including to higher-excited states are discussed.

研究の動機と目的

• 全量子多体波動関数の指数的複雑性に対処するため、変分パラメータとして限定された相関関数のセットに焦点を当てる。
• ヒルベルト空間の爆発を回避するため、系サイズに線形にスケーリングする相関行列を用いて密度行列の正定値性を近似的に強制する。
• 従来の変分法が上界を与えるのに対し、基底状態エネルギーの下界を提供する。
• 段階的な相関制約の近似を通じて、非一様かつ無秩序系を含む大規模系の効率的計算を可能にする。
• 1次元スピン1/2鎖において、正確な基底状態エネルギーへの収束と、正確な長距離スピン相関の捉え込みを示す。

提案手法

• 全密度行列を、局所的演算子の期待値からなる相関行列に置き換える。この相関行列の要素は、系サイズに線形にスケーリングされる。
• あるk局所的演算子の部分集合に対して、特定の相関行列が正定値半定値であることを要求することで、密度行列の近似的な正定値性を強制する。
• エネルギー最小化問題は、ハミルトニアンの期待値を目的関数とする半定値計画問題（SDP）として定式化される。
• 相関行列は2点関数およびそれ以上の高次相関関数から構築され、パウリ行列を用いた演算子代数的恒等式から導かれる制約が含まれる。
• 凸最適化のための内点法アルゴリズムを用い、CVXとMOSEKを介してSDPを数値的に解く。
• 数値的実装において、並進不変性を活用して独立パラメータの数を削減する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 相関関数のみに基づく変分的手法が、量子多体系の基底状態エネルギーに対して下界を提供できるか？
• RQ2 全波動関数を保存せずに、このような手法が長距離量子相関をどの程度的確に捉えることができるか？
• RQ3 より多くの相関関数を含めるに従って、この手法が正確な基底状態エネルギーにどの程度収束するか？
• RQ4 この手法は、並進不変性のない系や無秩序系に対しても、効率的に適用可能か？
• RQ5 密度行列の正定値性を近似的に強制するために、異なるk局所的演算子の部分集合を選択した場合、その影響は何か？

主な発見

• VC手法は、高次相関関数を含めるに従って正確な値に収束する基底状態エネルギーの下界を的確に得る。
• 1次元スピン1/2鎖において、無秩序系を含めても長距離スピン相関を正確に捉える。
• 横磁場イジング模型やXXZ模型などの数値的結果から、近似次数を上げるに従い、エネルギー推定値が正確な基底状態エネルギーに単調に収束することが示された。
• 相関行列形式は系サイズに線形にスケーリングするため、正確な対角化では到達できない大規模系の取り扱いが可能である。
• 並進不変性がなくても、無秩序ハミルトニアンの数値的解法を通じて、手法のロバスト性が実証された。
• 半定値計画法の使用により、高次相関制約の追加を通じて、近似の系統的改善が可能である。