[論文レビュー] Variational Hamiltonian Diagonalization for Dynamical Quantum Simulation

Benjamin Commeau, M. Cerezo+4 more|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2020

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 42被引用数 50

ひとこと要約

Introduces Variational Hamiltonian Diagonalization (VHD), a hybrid quantum-classical method to approximately diagonalize a Hamiltonian, enabling fast-forwarded quantum dynamics with fixed-depth circuits and no Trotter error. Demonstrates operational意味 and trainability, with numerical validation on XY models.

ABSTRACT

Dynamical quantum simulation may be one of the first applications to see quantum advantage. However, the circuit depth of standard Trotterization methods can rapidly exceed the coherence time of noisy quantum computers. This has led to recent proposals for variational approaches to dynamical simulation. In this work, we aim to make variational dynamical simulation even more practical and near-term. We propose a new algorithm called Variational Hamiltonian Diagonalization (VHD), which approximately transforms a given Hamiltonian into a diagonal form that can be easily exponentiated. VHD allows for fast forwarding, i.e., simulation beyond the coherence time of the quantum computer with a fixed-depth quantum circuit. It also removes Trotterization error and allows simulation of the entire Hilbert space. We prove an operational meaning for the VHD cost function in terms of the average simulation fidelity. Moreover, we prove that the VHD cost function does not exhibit a shallow-depth barren plateau, i.e., its gradient does not vanish exponentially. Our proof relies on locality of the Hamiltonian, and hence we connect locality to trainability. Our numerical simulations verify that VHD can be used for fast-forwarding dynamics.

研究の動機と目的

• 近接量子ダイナミクスのために回路深度を削減し、Trotter誤差を排除することを動機づける。
• 全体のハミルトニアンを対角化する変分スキームを開発し、時間発展を効率的にシミュレートできるようにする。
• 実用的な忠実度境界を持つ意味のある適合コスト関数を提供し、局所性の仮定の下で浅い不毛地形が現れないことを証明する。
• VHDがコヒーレンス時間を超えた高速化ダイナミクスを数値的に実証する。
• Variational Fast Forwarding (VFF) による事前学習が資源要件をさらに削減できることを示す。

提案手法

• H̃(θ,γ)=W(θ)D(γ)W†(θ) という近似対角化を行うansatzを提案する。
• W(θ) にはハードウェア効率的な層状回路を、局所的で扱いやすい D(γ) には Z^k の項からなる局所的な構成を用いる。
• コスト関数 C_VHD(θ,γ)=||H−H̃(θ,γ)||_HS^2/d と、訓練を導くための正規化版を定義する。
• コスト項 c_pqk(θ)=Tr(σ^pq WZ^k W†)/d をHadamard-test回路で評価し、勾配を計算する。
• 望ましい忠実度に基づく終端条件が満たされるまで、量子-古典のハイブリッドループで(θ,γ) を反復的に最適化する。
• オプションで Variational Fast Forwarding (VFF) を用いて θ と γ の良い初期値を供給する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 変分的に対角化されたハミルトニアンは、長時間の正確な量子ダイナミクスに固定深さの回路を提供できるか？
• RQ2 VHD のコスト関数は忠実度の観点で実用的な意味を持ち、終端基準を保証できるか？
• RQ3 局所性の仮定の下で、VHD のコスト景観は止まらないほどのバレット・プレートを避けられ、システムサイズが大きくなるにつれて訓練可能であり続けるか？
• RQ4 VFF の事前学習は VHD の実行前に量子資源要件を削減するのにどの程度効果的か？
• RQ5 XY ヒュージェンベルチェーンなど代表的モデルで、VHD がダイナミクスを素早く進める性能はどの程度か？

主な発見

• VHD は e^−iHt による時間発展を、V(T)=W e^{−iDT} W† の形でTまで近似する固定深さの量子回路を生み出す。
• VHD のコストは平均シミュレーション忠実度に結びつく境界を提供し、意味のある終端条件を可能にする。
• 局所性条件（局所 a-local H および局所 D）の下では、勾配分散は n に対して指数的に消失せず、浅い深さのバレット・プレートを回避する（定理1）。
• 1D XY モデルの数値実験は、VHD が コストを最適化後に 1e−9 未満（n=3）、1e−8 未満（n=4）、および 1e−5 未満（n=5）に削減することを示す。
• VFF による事前学習は初期コストを低減し収束を加速するが、完全な VHD 最適化は H を正確に対角化することによりTrotter誤差をさらに排除する。
• VHD を用いた高速化シミュレーションは、n=3–5量子ビットで平均不適合度を約 10^−3 未満に保ち、VFF のみを用いる場合よりも優れている。