[論文レビュー] Variational identification of minimal seeds to trigger transition in plane Couette flow

S. M. E. Rabin, C. P. Caulfield+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2011

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

本研究では、時間経過に伴うエネルギー増幅を最大化することで、平面コウエット流れにおける乱流発生を引き起こす最小初期摂動（'最小シード'）を変分的手法を用いて同定する。線形および非線形最適摂動は有限エネルギーで存在するが、真の最小シードは、乱流発生に起因する最適化の失敗が生じる臨界エネルギー閾値 $E_c$ にのみ出現する。この結果、最適化の失敗点が、使用する関数形式に依存せず、$E_c$ を信頼性高く推定できることを確認した。

ABSTRACT

A variational formulation incorporating the full Navier-Stokes equations is used to identify initial perturbations with finite kinetic energy E_{0} which generate the largest gain in perturbation kinetic energy (across all possible time intervals) for plane Couette flow. Two different representative flow geometries are chosen corresponding to those used previously by Butler & Farrell (1992) and Monokrousos et al. (2011). In the former (smaller geometry) case as E_{0} increases from 0, we find an optimal which is a smooth nonlinear continuation of the well-known linear result at $E_{0} = 0$. At $E_{0} = E_{c}$, however, completely unrelated states are uncovered which trigger turbulence and our algorithm consequently fails to converge. As $E_{0} ightarrow E^{+}_{c}, we find good evidence that the turbulence triggering initial conditions approach a 'minimal seed' which corresponds to the state of lowest energy on the laminar-turbulent basin boundary or 'edge'. This situation is repeated in the Monokrousos et al. (2011) (larger) geometry albeit with one notable new feature - the appearance of a nonlinear optimal (as found recently in pipe flow by Pringle & Kerswell (2010) and boundary layer flow by Cherubini et al. (2010)) at finite $E_{0} < E_{c}$ which has a very different structure to the linear optimal. Again the minimal seed at $E_{0} = E_{c}$ does not resemble the linear or now the nonlinear optimal. Our results support the first of two conjectures recently posed by Pringle et al. (2011) but contradict the second. Importantly, their prediction that the form of the functional optimised is not important for identifying E_{c} providing heightened values are produced by turbulent flows is confirmed: we find the what looks to be the same E_{c} and minimal seed using energy gain as opposed to total dissipation in the Monokrousos et al. (2011) geometry.

研究の動機と目的

• 平面コウエット流れにおいて乱流を誘発できる最小の初期摂動を同定すること。
• エネルギー増幅の変分最適化が、最小シードおよび臨界エネルギー閾値 $E_c$ を信頼性高く特定できるかどうかを検証すること。
• 線形・非線形最適摂動と真の最小シードとの関係を、$E_c$ における関係性として調査すること。
• 異なる最適化関数形式に対して、$E_c$ を同定するための失敗ベース手法の頑健性を評価すること。
• 最小シードの構造が、線形または非線形最適摂動と著しく異なるかどうかを同定すること。

提案手法

• 全ナビエ＝ストークス方程式に変分定式化を適用し、時間 $T$ の間に摂動運動エネルギー増幅 $G(T) = E(T)/E(0)$ を最大化する。
• 最適化は、バトラー＆ファーロー（1992）とモノクロウロスら（2011）の2つの異なる流れ幾何形状を用いて実施した。
• 固定された $E_0$ を持つ初期摂動の進化を追跡し、乱流発生に起因する収束不能が生じるエネルギーレベル $E_{\text{fail}}$ を特定した。
• 収束不能点 $E_{\text{fail}}$ を、乱流遷移の既知の臨界エネルギー $E_c$ と比較した。
• エネルギー増幅と時間積分された全散逸量の2つの異なる関数形式を用いて、手法の有効性をテストした。
• $E_0 = E_c$ における最小シードの構造を、低エネルギーでの線形および非線形最適摂動と比較分析した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エネルギー増幅の変分最適化は、異なる関数形式を用いた先行研究と同一の臨界エネルギー $E_c$ および最小シードを同定できるか？
• RQ2 異なるエネルギーレベルにおける線形最適摂動、非線形最適摂動、および最小シード摂動の構造は、どのように比較できるか？
• RQ3 最適化アルゴリズムが $E_{\text{fail}}$ で失敗することは、乱流遷移の真の $E_c$ を信頼性高く示す指標となるか？
• RQ4 関数形式の選択（エネルギー増幅対散逸量）が、$E_c$ および最小シードの同定に影響を与えるか？
• RQ5 $E_0 \to E_c^{-}$ の極限において、非線形最適摂動が最小シードに滑らかに近づくか？

主な発見

• 変分最適化アルゴリズムは $E_{\text{fail}}$ で収束不能となり、これは乱流遷移の臨界エネルギー $E_c$ に対応しており、$E_{\text{fail}} = E_c$ であるという仮説を支持する。
• $E_0 = E_c$ における最小シードは、低エネルギーでの線形最適摂動および非線形最適摂動とは構造的に著しく異なる。
• より大きな幾何形状では、有限エネルギー $E_0 < E_c$ における非線形最適摂動が存在するが、$E_0 \to E_c^{-}$ の極限で最小シードに漸近しない。これはプリングルら（2011）の仮説に反する。
• エネルギー増幅と全散逸量の両最適化において、同一の $E_c$ および最小シードが同定された。これにより、失敗ベース手法の頑健性が確認された。
• 最小シードは $E_0 = 0$ における線形最適摂動の滑らかな延長ではなく、$E_c$ で急激に出現するため、最適構造に不連続な遷移が生じることを示唆している。
• 最適化手順の $E_{\text{fail}}$ における失敗は、関数形式の選択に依存せず、乱流状態で大きな値をとる関数形式であれば、プリングルら（2011）の予測通りに頑健である。