[論文レビュー] Variational Inequalities For The Differences Of Averages Over Lacunary Sequences

Sakin Demir|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2022

Approximation Theory and Sequence Spaces被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、lacunary列における平均の差の$\ell^s$-ノルムとして定義される変動作用素$\mathcal{V}_s f(x)$について、強い型および弱い型の重み付き不等式を確立する。畳み込み型特異積分作用素と重み付きノルム理論を活用することで、$w$が$A_p$または$A_1$条件を満たすとき、$\mathcal{V}_s$が$1 < p < \infty$に対して$L^p(w)$上で有界であり、弱い型$(1,1)$を満たすことを証明する。これは、$2 \leq s < \infty$である一般のlacunary列へ既存の結果を拡張するものである。主な貢献は、dyadic-like分解とカーネル$D_r$-条件の解析を通じて、任意のlacunary列に対する変動$L^p$およびBMO推定値の拡張である。

ABSTRACT

Let $f$ be a locally integrable function defined on $\mathbb{R}$, and let $(n_k)$ be a lacunary sequence. Define the operator $A_{n_k}$ by $$A_{n_k}f(x)=\frac{1}{n_k}\int_0^{n_k}f(x-t)\, dt.$$ We prove various types of new inequalities for the variation operator $$\mathcal{V}_sf(x)=\left(\sum_{k=1}^\infty|A_{n_k}f(x)-A_{n_{k-1}}f(x)|^s ight)^{1/s}$$ when $2\leq s&lt;\infty$.

研究の動機と目的

• dyadicから一般のlacunary列への既存の変動$L^p$およびBMO推定値の拡張。
• lacunary列における平均の$\ell^s$-変動に対する強い型および弱い型の重み付きノルム不等式の確立。
• $\mathcal{V}_s f$の$H^1$、$L^p$、およびBMO空間における$A_p$重み付き有界性の証明。
• $2^n$などのdyadic設定からの結果を、$n_{k+1}/n_k \geq \beta > 1$を満たす任意のlacunary列へ一般化すること。

提案手法

• 与えられたlacunary列$(n_k)$から、$\beta \leq m_{j+1}/m_j \leq \beta^2$を満たすdyadic-like列$(m_j)$を構成し、変動構造を保持する。
• $A_{n_k}f(x) - A_{n_{k-1}}f(x) = \sum_{j \in J(k)} (A_{m_j}f(x) - A_{m_{j-1}}f(x))$という恒等式を用いて、$n_k$における変動を$m_j$における変動で上から抑える。これにより、制御可能なdyadic設定に還元する。
• 変動作用素を$\|K * f\|_{\ell^s(\mathbb{Z}^+)}$として表現し、$K(x) = \{\phi_k(x) - \phi_{k-1}(x)\}$とし、$\ell^s$-値の畳み込み作用素として扱う。
• Rubio de Franciaら[5]の重み付きノルム理論を、$D_r$条件を満たすカーネルを持つ$\ell^s$-値特異積分作用素に適用する。
• カーネル$K$が$1 \leq r < \infty$に対して$D_r$を満たすことを確立し、$\ell^s$-値作用素に対する重み付き不等式の適用を可能にする。
• $\|K * f(x)\|_{\ell^s} = \mathcal{V}_s f(x)$であるという事実を用いて、作用素理論からの重み付き推定値を変動作用素へ移行する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 変動作用素$\mathcal{V}_s f$の強い型および弱い型の重み付き$L^p$不等式は、dyadicから一般のlacunary列へ拡張可能か？
• RQ2 $w$にどのような条件を課すと、$1 < p < \infty$に対して$\mathcal{V}_s$が$L^p(w)$上で有界になるか？
• RQ3 $2 \leq s < \infty$のとき、$A_1$重みに関して弱い型$(1,1)$推定が$\mathcal{V}_s f$に成り立つか？
• RQ4 lacunary列における平均の$\ell^s$-変動は、$H^1$、BMO、$L^p$などの古典的関数空間とどのように関係するか？
• RQ5 カーネル$D_r$-条件と重み付き作用素理論を用いて、$\mathcal{V}_s$の$H^1$およびBMO上での有界性を確立できるか？

主な発見

• すべての$f \in H^1(\mathbb{R})$および$2 \leq s < \infty$に対して、$\|\mathcal{V}_s f\|_{L^1(\mathbb{R})} \leq C \|f\|_{H^1(\mathbb{R})}$が成り立ち、$H^1$-有界性がlacunary列へ拡張される。
• $1 < p < \infty$に対して、$w \in A_{p/r'}$かつ$r' \leq p < \infty$、または$w \in A_p^{r'}$かつ$1 < p \leq r'$のとき、$\|\mathcal{V}_s f\|_{L^p(w)} \leq C_{p,\rho}(w) \|f\|_{L^p(w)}$が成り立つ。ここで$r'$は$r$のH"older共役である。
• $w(x)^{r'} \in A_1$のとき、弱い型$(1,1)$不等式$w(\{x : \mathcal{V}_s f(x) > \lambda\}) \leq C_\rho(w) \lambda^{-1} \int |f(x)| w(x) dx$が成り立つ。これは、一般のlacunary列に対する弱い型推定の拡張である。
• コンパクトな台を持つ$f$に対して、変動作用素$\mathcal{V}_s f$はBMO$(\mathbb{R})$上で有界であり、$\|\mathcal{V}_s f\|_{BMO} \leq C_2 \|f\|_{L^\infty}$が成り立つ。これは、既存のBMO推定値がlacunary平均へ拡張されることを示す。
• $\mathcal{V}_s f$に付随するカーネル$K(x) = \{\phi_k(x) - \phi_{k-1}(x)\}$は、$1 \leq r < \infty$に対して$D_r$条件を満たす。これにより、重み付きノルム理論の適用が可能になる。
• $Tf = \{(\phi_k - \phi_{k-1}) * f\}_{k \in \mathbb{Z}^+}$は$\ell^s$-値の畳み込み型特異積分作用素であり、その$\ell^s$-ノルムは$\mathcal{V}_s f(x)$に等しい。これにより、結果の関数解析的枠組みが提供される。