[論文レビュー] Variational inequalities on unbounded domains for zero-sum singular-controller vs. stopper games

Andrea Bovo, Tiziano De Angelis+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2022

Stochastic processes and financial applications被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、変分不等式に最小最大化構造、障害制約、勾配制約を組み合わせた枠組みを用いて、非有界領域における単一のコントローラーとストッパーの間のゼロサム確率ゲームにおける価値の存在および最適戦略の存在を確立する。主な貢献は、係数の有界性や一様強楕円性の仮定を必要とせず、放物型変分不等式のソボレフ空間内における最大解として価値が得られることの証明である。

ABSTRACT

We study a class of zero-sum games between a singular-controller and a stopper over finite-time horizon. The underlying process is a multi-dimensional (locally non-degenerate) controlled stochastic differential equation (SDE) evolving in an unbounded domain. We prove that such games admit a value and provide an optimal strategy for the stopper. The value of the game is shown to be the maximal solution, in a suitable Sobolev class, of a variational inequality of `min-max' type with obstacle constraint and gradient constraint. Although the variational inequality and the game are solved on an unbounded domain we do not require boundedness of either the coefficients of the controlled SDE or of the cost functions in the game.

研究の動機と目的

• 非有界領域における特異的制御と最適停止を含むゼロサム確率ゲームの価値の存在を確立すること。
• 最小最大化構造を有する変分不等式のソボレフ空間内における最大解として価値関数を特徴付けること。
• 非有界領域における2つの硬い制約（障害および勾配）を有する変分不等式を解く課題を解決すること。
• SDE係数や報酬関数の有界性を仮定しない統一的な解析的・確率的枠組みを構築すること。
• 将来の自由境界問題およびコントローラー・ストッパー・ゲームにおけるサドルポイント解析の基盤を提供すること。

提案手法

• 変分不等式としてゲームを定式化し、障害制約 $ u \geq g $ および勾配制約 $ |\nabla u|_d \leq f $ を有する放物型の「最小最大化」型とする。
• ペナルティ法を用いて、変分不等式における障害制約と勾配制約を同時に扱う。
• エヴァンズの解析的道具および新規の確率的推定を用いて、ペナルティ付きPDEの解のソボレフノルムに対する一様有界性を確立する。
• 有界領域上での近似解の列を構築し、局所化および停止時間の議論を用いて非有界領域へ拡張する。
• 固定点法およびコンパクト性を用いて、有界および非有界領域上でのペナルティ問題の解の存在および一意性を証明する。
• シャエファーの固定点定理を適用して、完全に結合された変分不等式系の解の存在を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非有界領域における特異的コントローラーとストッパーの間のゼロサム確率ゲームは、価値関数を有するか？
• RQ2 価値関数は、最小最大化構造と2つの硬い制約を有する変分不等式のソボレフ空間内における最大解として特徴付けられるか？
• RQ3 SDE係数や報酬関数の有界性を仮定せずに、このような変分不等式を解くことは可能か？
• RQ4 障害制約と勾配制約を同時に扱うペナルティ法によって解を構成することは可能か？
• RQ5 ストッパーの最適停止時刻は、自由境界表現を有するか。その場合、接触集合 $ \{v = g\} $ における吸収を伴う特異的制御問題への再定式化が可能か？

主な発見

• ゲームは価値を有し、それは最小最大化構造を有する変分不等式 (1.4) の適切なソボレフクラス内における最大解として与えられる。
• 価値関数は $[0,T) \times \mathbb{R}^d$ ほぼ everywhere で変分不等式を満たし、終端条件 $ u(T,x) = g(T,x) $ を満たす。
• 解は、障害制約 $ u \geq g $ および勾配制約 $ |\nabla u|_d \leq f $ を同時に処理するペナルティ法によって構成される。
• 係数の有界性や一様強楕円性の仮定を必要とせず、ペナルティ付き解のソボレフノルムに対する一様有効性が確立された。
• 最適停止時刻 $ \tau_* $ が明示的に特徴付けられ、接触集合 $ \{v = g\} $ における吸収を伴う特異的制御問題へのゲームの再定式化が可能である。
• 有界および非有界領域上でのペナルティ付きPDEの解の存在および一意性が厳密に証明され、将来の解析の基盤が提供された。