[論文レビュー] Variational integrator for fractional Euler-Lagrange equations

Loïc Bourdin, Jacky Cresson+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2011

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 19被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、分数階動的系の変分構造を離散化することにより、分数階オイラー＝ラグランジュ方程式のための変分積分法を導入する。この方法が離散レベルで分数階ノイター型対称性を保存することを証明し、連続的対称性から導かれる運動定数の保存を保証する。これは、解析的解が通常得られない分数量的変分問題の数値的安定かつ構造保存的解法を提供し、分数量的計算の文脈に、古典的変分積分法理論を拡張するものである。

ABSTRACT

We extend the notion of variational integrator for classical Euler-Lagrange equations to the fractional ones. As in the classical case, we prove that the variational integrator allows to preserve Noether-type results at the discrete level.

研究の動機と目的

• 分数量的オイラー＝ラグランジュ方程式に従う分数量的力学系に、古典的変分積分法の概念を一般化する。
• 連続的対称性と保存則の関係を模倣するように、離散レベルでノイター型保存則を保存する。
• 解析的解が通常得られない分数量的変分問題を解くための数値的に安定で構造保存的スキームを開発する。
• 分数量的ディリクレ問題および分数量的調和振動子問題における数値シミュレーションを通じて、本手法の有効性を示す。

提案手法

• Grünwald-Letnikov分数量的微分を用いた変分枠組みにおける分数量的ラグランジアン関数の離散化。
• 離散作用積分に基づく離散変分原理の構築により、離散分数量的オイラー＝ラグランジュ方程式を導出する。
• 離散状態における分数量的微分を扱うために、離散的ライプニッツ型公式および後退/前進差分を用いる。
• 離散分数量的ノイター型定理を適用し、対称変換下での運動量保存の検証を行う。
• パラメータ化された対称性を有する分数量的ディリクレ問題および分数量的調和振動子に対する離散系の数値的実装。
• 対称性生成子から導かれる離散的運動定数を用いて、保存則の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分数量的オイラー＝ラグランジュ方程式に従う分数量的力学系に対して、変分積分法の概念を一般化できるか？
• RQ2 離散的変分積分法が、分数量的ノイター型対称性および関連する運動定数を保存するか？
• RQ3 対称性を持つ系において、離散的分数量的オイラー＝ラグランジュ方程式は連続的分数量的オイラー＝ラグランジュ方程式と数値的にどのように異なるか？
• RQ4 分数量的場合における離散的保存則の構造は何か？ そして、それを明示的に計算できるか？
• RQ5 本手法は、回転対称性を有する分数量的調和振動子といった物理的に重要な系へ応用可能か？

主な発見

• 提案された変分積分法は、離散レベルで分数量的ノイター型保存則を正確に保存し、ラグランジアンにおける対称性が離散解において保存量を生じることを保証する。
• 分数量的ディリクレ問題において、離散解は離散分数量的オイラー＝ラグランジュ方程式を満たし、連続理論と整合的な運動の保存を示す。
• 回転対称性を有する分数量的調和振動子の場合、離散系は角運動量に類似した量から導かれる離散的運動定数を保存する。
• 離散分数量的ノイター型定理（定理4）が成立することが証明され、離散作用の1パラメータ群の微分同相変換による不変性が、離散軌道に沿って保存量を示すことを示している。
• 本手法は、エネルギーおよび運動量保存といった構造保存的性質を維持する形で、古典的変分積分法を分数量的系へ一般化する。
• 数値的シミュレーションにより、解析的解が一般に得られない $0 < \alpha < 1$ の範囲においても、離散解が期待される対称性由来の保存則を維持することが確認された。