[論文レビュー] Variational Methods for Path Integral Scattering

Julien Carron|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2009

Quantum and Classical Electrodynamics参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

この修士論文は、T行列の経路積分表現を用いた非相対論的ポテンシャル散乱のための新しい変分法を提案する。フェイマン＝ジンセン変分原理を適用し、実および複素軌道形の古典的運動方程式を導出する。この手法は、エイコナール展開の主要項および次に続く項を回復し、困難な散乱領域において既存の手法よりも顕著な数値的改善を示す高精度な近似を与える。

ABSTRACT

In this master thesis, a new approximation scheme to non-relativistic potential scattering is developed and discussed. The starting points are two exact path integral representations of the T-matrix, which permit the application of the Feynman-Jensen variational method. A simple Ansatz for the trial action is made, and, in both cases, the variational procedure singles out a particular one-particle classical equation of motion, given in integral form. While the first is real, in the second representation this trajectory is complex and evolves according to an effective, time dependent potential. Using a cumulant expansion, the first correction to the variational approximation is also evaluated. The high energy behavior of the approximation is investigated, and is shown to contain exactly the leading and next-to-leading order of the eikonal expansion, and parts of higher terms. Our results are then numerically tested in two particular situations where others approximations turned out to be unsatisfactory. Substantial improvements are found.

研究の動機と目的

• 非相対論的ポテンシャル散乱のための新しい変分近似スキームを、T行列の経路積分表現を用いて開発すること。
• フェイマン＝ジンセン変分原理を正確な経路積分表現に適用し、散乱軌道の古典的運動方程式を導出すること。
• 累積量展開を用いて変分近似の最初の補正を評価し、その高エネルギー行動を検討すること。
• 従来の近似が失敗する場合、特に強いまたは急変するポテンシャルに対して、数値的にこの手法をテストすること。
• ユニタリティを保ち、エイコナール近似などの既知の展開と整合すること。

提案手法

• 手法は、T行列の2つの正確な経路積分表現に起因する。1つはエイコナール表現、もう1つはレイト表現である。
• 簡単なアンザッツを用いた試行作用を導入し、フェイマン＝ジンセン変分原理を適用して、積分形式の古典的軌道の変分方程式を導出する。
• エイコナール表現では、軌道は実であり、時間に依存する有効ポテンシャルに従って駆動される。レイト表現では、軌道は複素であり、修正されたポテンシャルに従って進化する。
• 変分近似の最初の補正は累積量展開を用いて計算され、ガウス型ポテンシャルに対して明示的な式が導出される。
• 高エネルギー漸近挙動を分析し、この手法がエイコナール展開の主要項および次に続く項を正確に再現することを示す。
• 数値的実装には、適応的統合（DCUHRE）と線形補間を用いた変分軌道が使用され、レイト表現における2番目の累積量に対して解析的簡略化が施された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フェイマン＝ジンセン変分原理は、ポテンシャル散乱におけるT行列の経路積分表現に成功裏に適用可能か？
• RQ2 得られる変分近似は、エイコナール展開などの既知の高エネルギー極限を回復するか？
• RQ3 標準的近似が失敗する領域、例えば強いまたはゆっくり変化しないポテンシャルの場合、この手法の数値的性能はいかがなものか？
• RQ4 変分近似の最初の補正の構造は何か？ そして、累積量展開を用いてどのように計算されるか？
• RQ5 この手法はユニタリティを維持し、挑戦的な散乱設定において正確な微分断面積を提供できるか？

主な発見

• 変分手続きにより、実軌道を有するエイコナール表現と、複素軌道を有するレイト表現の両方において、積分形式の古典的運動方程式が得られる。
• 近似の高エネルギー展開は、エイコナール展開の主要項および次に続く項を正確に再現する。
• 数値的テストでは、従来の近似が失敗する場合、特に強いまたは急変するポテンシャルに対して、顕著な改善が確認された。
• 変分近似の最初の補正は累積量展開を用いて計算され、ガウス型ポテンシャルに対して明示的な解析的式が導出された。
• 適応的統合と補間技術は、特に標準的ガウス＝レジュンドル統合が失敗するレイト表現において、2番目の累積量の正確な評価に不可欠であった。
• 線形化された軌道に基づく2番目の累積量の解析的近似は、適応的統合が失敗する点まで、完全な数値統合と良好な一致を示した。