[論文レビュー] Variational models for prestrained plates with Monge-Ampère constraint

Marta Lewicka, Pablo Ochoa+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2014

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 25被引用数 16

ひとこと要約

本稿では、非ユークリッド的弾性における残留エネルギーを捉えるために、Monge-Ampère制約 $\Delta^2 v = f$ の下で双調和エネルギーを最小化する変分モデルを、事前に歪みを有する薄板に対して導出する。主な貢献は、回転対称な場合においてこのモデルの臨界点の存在を証明し、Monge-Ampère制約と正の曲率を有する等長埋め込みの幾何学的性質との間の関係を確立することにある。

ABSTRACT

We derive a new model for pre-strained thin films, which consists of minimizing a biharmonic energy of deformations $v\in W^{2,2}$ satisfying the Monge-Ampère constraint $\det abla^2v = f$. We further discuss multiplicity properties of the minimizers of this model, in some special cases.

研究の動機と目的

• 非ユークリッド的弾性を用いた不適合計量を有する事前に歪みを有する薄板膜の次元削減された変分モデルを導出すること。
• Monge-Ampère制約 $\Delta^2 v = f$ と $\mathbb{R}^3$ 内の等長埋め込みの幾何学的性質との間の関係を確立すること。
• 回転対称性の下で、導出されたモデルにおける最小化子の多重性と一意性を分析すること。
• 臨界点条件が満たされるようなラグランジュ乗数 $\lambda$ の存在を証明すること。
• 厚さ $h \to 0$ のとき、事前に歪みを有する薄板における残留エネルギーの漸近的挙動が、導出されたモデルによって正しく捉えられることを示すこと。

提案手法

• 事前に歪みを有する板の残留エネルギーをモデル化するため、$W^{2,2}(\Omega)$ におけるエネルギー最小化問題を定式化し、制約 $\det \nabla^2 v = f$ を導入する。
• Gamma収束と漸近的解析を用いて、乗法的分解 $\nabla u^h = F A^h$ を有する3次元非線形弾性から2次元極限モデルを導出する。
• ラグランジアン $\Lambda(v, \lambda)$ を導入し、双調和エネルギーとラグランジュ乗数 $\lambda$ を用いたMonge-Ampère制約を統合する。
• ラグランジアン $\Lambda$ のオイラー＝ラグランジュ方程式を導出し、$\nabla^2 v$、$\mathrm{cof}(\nabla^2 v)$、および $\lambda$ を含む系を得る。
• 回転対称性の仮定を用いて、偏微分方程式系を $r$ に関する常微分方程式系に簡略化し、解の明示的構成を可能にする。
• 得られた系が $\partial\Omega$ において自然境界条件を満たすことを確認する。これには接線成分および法線成分が含まれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不適合計量を有する薄板における残留エネルギーのスケーリング則は何か？ また、その2次元極限モデルはどのように得られるか？
• RQ2 Monge-Ampère制約 $\det \nabla^2 v = f$ は、事前に歪みを有する薄板の変分モデルに一貫して組み込めるか？
• RQ3 導出されたモデルの最小化子が一意性または多重性を示す条件は何か？
• RQ4 臨界点条件が満たされるようなラグランジュ乗数 $\lambda$ が存在するか？
• RQ5 無限小等長埋め込みを正確な等長埋め込みへと継続する方法は、Monge-Ampère制約を用いて特徴付けられるか？

主な発見

• モデルは、事前に歪みを有する3次元非線形弾性の $\Gamma$-極限として得られ、双調和エネルギーをMonge-Ampère制約 $\det \nabla^2 v = f$ の下で最小化する2次元変分問題に帰着される。
• $f \in \mathcal{C}^\infty(\overline{B(0,1)})$ で $f > 0$ を満たす回転対称な関数 $f$ に対して、$v \in \mathcal{C}^\infty(\overline{B(0,1)})$ となる回転対称解 $v$ が存在し、$\det \nabla^2 v = f$ を満たす。
• ラグランジアン $\Lambda$ の臨界点 $(v, \lambda)$ を満たす回転対称なラグランジュ乗数 $\lambda(r) \in \mathcal{C}^\infty(\overline{B(0,1)})$ が存在する。
• オイラー＝ラグランジュ方程式系は、$(0,1)$ において $\lambda'(r) = -2 \frac{r}{v'(r)} (\Delta v)'(r)$ に簡略化される。また $\lambda'(0) = 0$ である。
• 境界条件は満たされている：回転対称性により接線方向の微分項が消え、法線方向の条件 $2v''(1) + \lambda(1)v'(1) = 0$ も成立する。
• 楕円型正則性により、$\lambda$ が $\mathcal{C}^\infty$ であることが示され、臨界点条件が古典的意味で満たされていることが確認される。