[論文レビュー] Variational principle and phase space measure in non-canonical coordinates

Alessandro Sergi|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2005

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、シンプレクティックな変分原理から、非正則なハミルトニアンの運動方程式を導出し、不変な位相空間測度と共変なエントロピー関数が、位相空間の圧縮性を仮定せずに非正則な座標変換から自然に生じることを示している。主な貢献は、非圧縮性の流れですら成り立つ、一般化された幾何学的枠組みに基づく統計力学の非正則座標における定式化である。

ABSTRACT

Non-canonical equations of motion are derived from a variational principle written in symplectic form. The invariant measure of phase space and the covariant expression for the entropy are derived from non-canonical transformations of coordinates. This shows that the geometry of non-canonical phase space is non trivial even if dynamics has no compressibility.

研究の動機と目的

• シンプレクティック幾何学を用いて、非正則ハミルトニアン力学のための変分原理を確立すること。
• 非正則座標における不変な位相空間測度の起源を、力学的圧縮性に依存せずに明確にすること。
• 圧縮性・非圧縮性の両方の非正則系に有効な共変なエントロピー関数を導出すること。
• 非圧縮性の非正則系であっても、正しい統計力学を実現するためには非自明なヤコビアンが必要であることを示すこと。
• 座標変換と時間スケーリングを通じて、非正則力学と特定の非ハミルトニアン力学を統一的に取り扱うこと。

提案手法

• 正則なシンプレクティック行列 $\mathbf{B}^c$ を用いて作用をシンプレクティック形式に定式化し、変分原理を適用して正則ハミルトニアンの運動方程式を導出する。
• 一般の非正則座標変換 $z = z(x)$ とヤコビアン $\mathcal{J} = \left|\partial x / \partial z\right| \neq 1$ をシンプレクティック作用に適用する。
• 変換された作用から非正則な運動方程式を導出し、新たな反対称行列 $B_{nm}$ を用いてハミルトニアン構造を保つことを示す。
• 座標依存の時間スケーリングを導入し、正則な力学から非ハミルトニアン方程式の族を生成する。
• ヤコビアンに依存する測度 $dz(t) \left|\partial x(t)/\partial z(t)\right| = dz(0) \left|\partial x(0)/\partial z(0)\right|$ を変換のヤコビアンから導出し、力学に依存しないことを示す。
• ヤコビアンを用いて定義される $\rho(z)$ を用いた共変エントロピー関数 $S = -k_B \int dz\, \rho(z) \ln f'(z)$ を構築し、Tuckerman らの測度を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シンプレクティック形式の変分原理から、どのように非正則な運動方程式を導出できるか？
• RQ2 非正則座標における不変な位相空間測度の起源は何か？また、力学的圧縮性に依存するか？
• RQ3 非圧縮性の非正則系に対しても有効な共変なエントロピー関数を定義できるか？
• RQ4 座標変換と時間スケーリングは、非正則力学と非ハミルトニアン力学をどのように関連付けるか？
• RQ5 非圧縮性の系に対しても、力学的性質を仮定せずに、幾何的変換のみで非正則系の統計力学を定式化できるか？

主な発見

• 非正則な運動方程式は、非正則座標におけるハミルトニアン構造を仮定せず、座標変換によるシンプレクティックな変分原理から直接導出可能である。
• 不変な位相空間測度は、非正則変換のヤコビアン $\rho(z) = \left|\partial x / \partial z\right|$ のみに依存し、位相空間の圧縮性とは無関係に定義される。
• 圧縮性がゼロの系では、時間発展に基づく標準的な測度（例：Tuckerman ら）は失敗するが、ヤコビアンに基づく測度は依然として有効である。
• 共変エントロピー関数 $S = -k_B \int dz\, \rho(z) \ln f'(z)$ で $\rho(z) = \left|\partial x / \partial z\right|$ と定義すると、以前の定式化を一般化し、圧縮性・非圧縮性の両方の非正則系に適用可能である。
• 座標依存の時間スケーリングにより、非ハミルトニアン方程式の族を生成でき、非正則力学と非ハミルトニアン力学の間の幾何的関係を示している。
• 導出結果から、非圧縮性であっても非正則位相空間の幾何学的構造は非自明であり、ヤコビアンが測度とエントロピーに内在的な構造をもたらすことが確認された。