[論文レビュー] Variational principle for the Einstein-Vlasov equations

Lars Andersson, Mikołaj Korzyński|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2019

Gas Dynamics and Kinetic Theory参考文献 40被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、リーマン多様体上の接バンドル上を流れる流体として物質を扱い、ラグランジュ的およびオイラー的図式の両方で作用を定式化することにより、アインシュタイン＝フラスフ方程式の初の変分的導出を確立した。主な貢献は、ベクトル密度と位相空間力学を用いた幾何的定式化を通じて、フラスフ方程式およびアインシュタインの運動方程式を含む完全なアインシュタイン＝フラスフ系を導く一貫性のある変分原理の構築である。

ABSTRACT

The Einstein-Vlasov equations govern Einstein spacetimes filled with matter which interacts only via gravitation. The matter, described by a distribution function on phase space, evolves under the collisionless Boltzmann equation, corresponding to the free geodesic motion of the particles, while the source of the gravitational field is given by the stress-energy tensor defined in terms of momenta of the distribution function. As no variational derivation of the Einstein-Vlasov system appears to exist in the literature, we here set out to fill this gap. In our approach we treat the matter as a generalized type of fluid, flowing in the tangent bundle instead of the spacetime. We present the actions for the Einstein-Vlasov system in both the Lagrangian and Eulerian pictures.

研究の動機と目的

• 一般相対性理論における長年の空白を埋めるために、運動論および宇宙論において中心的役割を果たすにもかかわらず、既知の作用原理を有さないアインシュタイン＝フラスフ系の変分的導出を提供すること。
• 時空ではなく接バンドル上で流れるとみなされる一般化された流体としてフラスフ物質を再定式化し、幾何的変分的取り扱いを可能にすること。
• ラグランジュ的およびオイラー的作用の両方の定式化を導出し、標準的なアインシュタイン＝フラスフ方程式およびその背後にある幾何的構造と整合性を保つこと。
• フラスフ流体動力学の文脈において微分形式に起因する制限を克服するため、フラックスと発散を扱う自然な数学的道具としてのベクトル密度の導入。
• 導出された場の運動方程式が、標準的なアインシュタイン＝フラスフ系（フラスフ方程式および位相空間モーメントからのエネルギー運動量テンソルの構成を含む）と等価であることを確立すること。

提案手法

• 位相空間における測度関数を用いたラグランジュ的図式で作用を定式化し、位相空間内での測地線運動によって支配される力学を記述する。
• 粒子フラックスを表現するためにベクトル密度を用い、微分同相写像下での適切な変換性と物理的フラックスとの一貫性を保証する。
• 時空計量およびベクトル密度 $ K^i $ に対して独立に変分をとることで、アインシュタイン方程式およびフラスフ方程式を導出する。
• 同次ラグランジアンに対するオイラーの等式を用いて変分を簡略化し、位相空間モーメントからの正しいエネルギー運動量テンソルの導出を実現する。
• 部分積分を実行し、境界条件を適用して表面項を消去することで、変分原理が適切に定義されていることを保証する。
• 物質場 $ M $ を用いて作用を再表現することで、オイラー的図式への変換を確立し、オイラー的図式における一貫性のある変分原理を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 文献にそのような定式化が存在しないにもかかわらず、アインシュタイン＝フラスフ系に対して一貫性のある変分原理を導くことは可能か？
• RQ2 衝突のない粒子を表すフラスフ物質を、時空ではなく接バンドル上で流れるとみなす一般化された流体として扱うには、どのようにすれば幾何的変分的アプローチを可能にすることができるか？
• RQ3 特に、ラグランジュ的およびオイラー的図式における作用を定式化するにあたり、ベクトル密度の果たす役割を含めた正しい数学的構造は何か？
• RQ4 計量および物質場 $ K^i $ に対して作用を変分することで、完全なアインシュタイン＝フラスフ系がどのように得られるか？
• RQ5 得られた変分原理が、標準的なアインシュタイン＝フラスフ方程式（フラスフ方程式およびエネルギー運動量テンソルの位相空間モーメントからの構成を含む）と等価であるか？

主な発見

• 本稿は、ラグランジュ的およびオイラー的両図式において、アインシュタイン＝フラスフ系を変分原理から正しく導出することに成功し、相対論的運動論における大きな空白を埋めた。
• ベクトル密度の使用は、位相空間におけるフラックスを幾何学的に一貫性を持たせるとともに物理的に意味のある枠組みを提供し、この文脈では微分形式よりも優れている。
• $ K^i $ に対する変分によりフラスフ方程式が得られ、計量に対する変分により、位相空間モーメントからの正しいエネルギー運動量テンソルを有するアインシュタイン方程式が導かれる。
• 作用が速度変数に関して同次的であることが確認され、オイラーの等式を用いることで変分が簡略化され、正しいエネルギー運動量テンソルが導出可能であることが示された。
• 標準的な境界条件下では、変分における表面項が消えるため、変分原理が適切に定義されており、正しい場の運動方程式へと導くことが保証された。
• 最終的な変分形 $ ilde{ abla}_k K^k = 0 $ および導出された場の運動方程式は、標準的なアインシュタイン＝フラスフ系と一致し、全体の構成が正当化された。