[論文レビュー] Variational Principle of Hydrodynamics and Quantization by Stochastic Process

T. Kodama, T. Koide|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2014

Reservoir Engineering and Simulation Methods参考文献 1被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、量子ゆらぎが最大エントロピーを介して統合された過去および未来のブラウン運動から生じる、確率的変分原理に基づく量子力学の流体的表現を再構築する。得られる流体作用はシュレーディンガー方程式を導出し、ノネーターの定理を用いた一貫性のある演算子形式を備えたスカラー場の量子化へ自然に拡張される。

ABSTRACT

The well-known hydrodynamical representation of the Schrödinger equation is reformulated by extending the idea of Nelson-Yasue's stochastic variational method. The fluid flow is composed by the two stochastic processes from the past and the future, which are unified naturally by the principle of maximum entropy. We show that this formulation is easily applicable to the quantization of scalar fields.

研究の動機と目的

• ネルソン＝ヤスウの枠組みに基づく確率的変分原理に裏打ちされた、シュレーディンガー方程式の流体的表現を再定式化すること。
• 最大エントロピーの原理を用いて、量子力学的ダイナミクスにおける前向きおよび後向きの確率的過程を統合すること。
• 量子補正を内因的エネルギー項として持つ流体的作用を構築し、標準的な量子力学的作用を再現し、シュレーディンガー方程式を導出すること。
• 関数空間におけるスカラー場の量子化への形式の拡張を図り、正準量子化と一貫性を保つこと。
• 波動汎関数表現におけるノネーターの定理を用いて、演算子および固有状態の基礎を確立すること。

提案手法

• 独立な二つのブラウン運動（前向きおよび後向き）を導入し、普遍定数 κ に関連するノイズ強度を持つ確率的過程に従わせる。
• 初期および最終の確率分布と整合性を保つために、最大エントロピーの原理を適用し、前向きおよび後向きの確率的流れを統合する。
• 内部エネルギー項として量子補正を表す古典的理想流体に基づく流体作用を構築する。
• 複素波動汎関数 ψ[ϕ] = √ρ e^{iλ} を用いて作用を表現し、関数的シュレーディンガー作用の標準形に変換する。
• 関数的密度 ρ[ϕ] および位相 λ[ϕ] に対して作用を変分することで、関数的シュレーディンガー方程式を導出する。
• ノネーターの定理を用いて、波動汎関数表現における運動量およびハミルトニアン演算子を定義し、標準量子力学と整合性を保つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最大エントロピーを介した確率的変分原理を用いて、量子力学の流体的表現をどのように導出できるか？
• RQ2 過去および未来の確率的過程が、一貫性のある量子力学的ダイナミクスを定義する上で果たす役割は何か？
• RQ3 流体作用に内部エネルギーを組み込むと、シュレーディンガー方程式はどのように導かれるか？
• RQ4 この形式は、関数空間におけるスカラー場の量子化に一貫して拡張可能か？
• RQ5 ノネーターの定理を用いたこの変分枠組み内で、標準的な量子演算子および固有状態はどのように導出されるか？

主な発見

• 最大エントロピーを介した確率的変分原理により、前向きおよび後向きのブラウン運動が統合され、一貫性のある量子力学的ダイナミクスの枠組みが得られる。
• 内部エネルギーとしての量子補正を有する流体作用は、適切な変数変換により、標準的なシュレーディンガー方程式を再現する。
• 関数的シュレーディンガー方程式は、場の配置空間における作用のオイラー＝ラグランジュ方程式として導出される。
• 波動汎関数 Ψ[ϕ] = √ρ e^{iλ} は、ノネーターの定理を用いた演算子および固有状態の定義に自然な基盤を提供する。
• スカラー場の場合、ノイズ強度は κc = ħc によって一意に決定され、量子ノイズと時空構造との深い関係を示唆する。
• 関数空間における無渇流の性質により、多価位相配置に対しても追加の制約を必要とせず、場の量子化が自然に扱える。