[論文レビュー] Variational Principles and Cosmological Models in Higher-Order Gravity

Laurent Querella|ArXiv.org|Feb 14, 1999

Cosmology and Gravitation Theories被引用数 36

ひとこと要約

本学位論文は、2次曲率ラグランジアンに基づく高次の重力理論の正準ハミルトニアン枠組みを構築し、制約付き第一順位形式が変分原理における矛盾を回避することを示し、Weyl幾何学における一般相対性理論にスカラー場を加えた理論との共形同値性を確立する。主な結果として、共形不変の場合に6つの物理的自由度が同定され、線形化理論と整合的であり、ゲージ固定が宇宙論的モデルにおいて可能となる第一級の共形制約が導出される。

ABSTRACT

This dissertation investigates three main topics, all of which dealing with alternative, higher-order gravity theories in four dimensions. Firstly, we study the variational and conformal structure of those theories. Next, we analyse their Hamiltonian formulation and in particular its relationship with the famous ADM canonical version of general relativity. Finally, we study higher-order spatially homogeneous cosmologies and exemplify how Hamiltonian methods can be utilised to simplify the analysis of the associated field equations.

研究の動機と目的

• 高次の曲率ラグランジアンに適用した場合に生じる変分原理における矛盾を解消するため、Einstein-Palatini法に代えて制約付き第一順位形式を採用すること。
• Weyl幾何学内において、非線形な高次の重力理論と一般相対性理論にスカラー場を加えた理論との間の共形同値性を確立すること。
• 空間的に一様な宇宙論的モデルにおける高次の重力のハミルトニアン形式を、正準手法を用いて構築すること。
• 共形不変の場合の物理的自由度および制約、特に共形制約の役割を同定すること。
• ハミルトニアン手法が、高次の重力における空間的に一様な宇宙論的モデルの場の運動方程式の解析を簡略化できるかどうかを示すこと。

提案手法

• Einstein-Palatiniの変分アプローチに代わって、ラグランジュ乗数を導入することで制約付き第一順位形式を採用する。
• 拡張されたラグランジアン密度に対してラプラス変換を適用し、共形不変理論の正準ハミルトニアン密度を導出する。
• 共役運動量から一次制約を導出し、特に外的曲率のトレースレス条件と超運動量制約を含む。
• 一貫性アルゴリズムを用いて二次制約を導出し、特に第一級であることが示される共形制約 χ ≈ 0 を得る。
• テスト関数を用いたポisson括弧を用いて制約の計算を簡略化し、それらが第一級であることを確認する。
• 空間的に一様なモデルにおいてゲージ固定を実装し、Kij と Pij のトレースを消去することで、共形制約が自動的に満たされることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Einstein-Palatiniの変分法は、高次の曲率ラグランジアンに適用した場合に矛盾を引き起こすか。もしそうならば、その是正策は何か？
• RQ2 高次の重力と一般相対性理論にスカラー場を加えた理論との間の共形同値性は、Weyl幾何学へと拡張可能か？
• RQ3 高次の重力理論の正準構造、特に共形不変の場合の構造は何か？
• RQ4 共形不変な高次の重力モデルには、いくつの物理的自由度が存在するか？
• RQ5 ハミルトニアン手法は、高次の重力における空間的に一様な宇宙論的モデルの場の運動方程式の解析を簡略化できるか？

主な発見

• 制約付き第一順位形式は、Einstein-Palatini法の矛盾を回避し、高次の重力に対して一貫した変分枠組みを提供する。
• Weyl幾何学においても共形同値定理が成立し、非線形な高次の理論が共形変換のもとで一般相対性理論にスカラー場を加えた理論と同値であることを示す。
• Einstein-Palatini法は、制約付き第一順位形式の退化した場合であり、Weyl空間を扱えないことが示される。
• 共形不変の場合、理論は6つの物理的自由度を示し、線形化理論の予測と整合的である。
• 一次制約の一貫性から生じる二次制約 χ ≈ 0 は第一級であり、共形変換を生成する。これにより、そのゲージ構造における役割が確認される。
• 共形制約 χ ≈ 0 は、空間的に一様なモデルにおいてゲージ固定を用いて Kij と Pij のトレースを消去可能であり、正準解析を簡略化する。