[論文レビュー] Variational principles for amenable metric mean dimensions

Ercai Chen, Dou Dou+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2017

Advanced Topology and Set Theory被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、可換群作用におけるメトリック平均次元とレート歪み関数の間の変分原理を確立し、LindenstraussとTsukamotoの$Ζ$-作用に関する結果を一般の可換群へ拡張する。有限タイリング性質とFølner列を活用することで、不変測度上での$L^p$および$L^\infty$レート歪み関数の正規化された上界と下界の上限・下限が、上部および下部のメトリック平均次元に一致することを証明し、無限エントロピー力学系への古典的変分原理の一般化を達成する。

ABSTRACT

In this paper, we prove variational principles between metric mean dimension and rate distortion function for countable discrete amenable group actions which extend recently results by Lindenstrauss and Tsukamoto.

研究の動機と目的

• LindenstraussとTsukamotoのメトリック平均次元の変分原理を、$Ζ$-作用から可算無限の可換群作用へ一般化すること。
• 可換群力学系の文脈において、メトリック平均次元とレート歪み関数の関係を確立すること。
• 可換群の有限タイリング結果を用いて、不変測度を構成する技術的課題を克服すること。
• 不変測度上でのレート歪み関数の上界の漸近的成長率が、メトリック平均次元に等しいことを証明すること。

提案手法

• Downarowicz らの有限タイリング結果を用いて、可換群の特定のFølner列を構成する。
• メトリック平均次元に適応されたMisiurewicz法を、レート歪み関数を介して適用する。
• 相互情報量とエントロピー推定技術を用いて、測度論的および位相的不変量を関連付ける。
• Følner列に沿った押し出し測度の弱*収束を用いて、極限表現を導出する。
• データ処理不等式とエントロピーの上限を適用して、極限における相互情報量を制御する。
• 正規化された群作用下でのレート歪み関数の漸近的挙動を分析することで、変分原理を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 メトリック平均次元の変分原理を、$Ζ$-作用から一般の可算無限の可換群作用へ拡張することは可能か？
• RQ2 可換群作用において、不変測度上での$L^p$および$L^\infty$レート歪み関数の正規化された上界のlimsup/liminfが、メトリック平均次元に等しいか？
• RQ3 Følner列に沿って不変測度を構成することで、位相的および測度論的量を関連付けるにはどうすればよいか？
• RQ4 有限タイリングおよび準タイリングは、可換群への変分原理の一般化においてどのような役割を果たすか？
• RQ5 レート歪み関数は、可換群設定におけるメトリック平均次元の複雑さを完全に捉えられるか？

主な発見

• 可換群作用下の力学系の上部および下部メトリック平均次元は、それぞれすべての不変測度上での$L^p$レート歪み関数の正規化された上界のlimsupおよびliminfに等しい。
• $p>1$ に対して、変分原理が成立する：$\overline{\rm{mdim}}_M(\mathcal{X},d) = \limsup_{\varepsilon\to 0} \frac{\sup_{\mu\in M(\mathcal{X},T)} R_{\mu,p}(\varepsilon)}{|\log \varepsilon|}$。
• $L^\infty$の変分原理は可換群へ拡張可能である：$\underline{\rm{mdim}}_M(\mathcal{X},d) = \liminf_{\varepsilon\to 0} \frac{\sup_{\mu\in M(\mathcal{X},T)} R_{\mu,\infty}(\varepsilon)}{|\log \varepsilon|}$。
• 証明は、必要な測度近似を支えるFølner列の構成に、可換群の有限タイリング結果に依存している。
• 著者らは、相互情報量とエントロピー推定を用いて、レート歪み関数の下界を確立し、$R_{\mu,\infty}(\varepsilon) \geq S(\mathcal{X},G,d,12\varepsilon)$ を極限で示した。
• $\alpha \to 0$ とすることで、不等式 $R_{\mu,\infty}(\varepsilon) \geq S(\mathcal{X},G,d,12\varepsilon)$ が強化され、漸近的領域で等式が成立することを示した。