[論文レビュー] Variational Principles for immersed Surfaces with $L^2$-bounded Second Fundamental Form

Tristan Rivière|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2010

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 9被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、R^m における浸漬表面に対して、L²-有界な第二基本形式をもつ変分的枠組みを確立し、微分同相不変性を克服するため、共形構造によるゲージ固定法を導入する。任意の与えられた共形類を実現するWillmoreエネルギーを最小化する分岐型埋め込みの存在を証明し、そのような最小化子が滑らかな共形Willmore埋め込みまたはグローバル等角埋め込みであることを示し、エネルギーが 8π より小さい場合には分岐点をもたないことを示す。

ABSTRACT

In this work we present new fundamental tools for studying the variations of the Willmore functional of immersed surfaces into $R^m$. This approach gives for instance a new proof of the existence of a Willmore minimizing embedding of an arbitrary closed surface in arbitrary codimension. We explain how the same approach can solve constraint minimization problems for the Willmore functional. We show in particular that, for a given closed surface and a given conformal class for this surface, there is an immersion in $R^m$, away possibly from isolated branched points, which minimizes the Willmore energy among all possible Lipschitz immersions in $R^m$ having an $L^2-$bounded second fundamental form and realizing this conformal class. This branched immersion is either a smooth Conformal Willmore branched immersion or an isothermic branched immersion. We show that branched points do not exist whenever the minimal energy in the conformal class is less than $8π$ and that these immersions extend to smooth conformal Willmore embeddings or global isothermic embeddings of the surface in that case. Finally, as a by-product of our analysis, we establish that inside a compact subspace of the moduli space the following holds : weak limit of Palais Smale Willmore sequences are Conformal Willmore, that weak limits of Palais Smale sequences of Conformal Willmore are either Conformal Willmore or Global Isothermic and finally we observe also that weakly converging Palais Smale sequences of Global Isothermic Immersions are Global Isothermic. The analysis developped along the paper - in particular these last results - opens the door to the possibility of constructing new critical saddle points of the Willmore functional without or with constraints using min max methods

研究の動機と目的

• R^m における浸漬表面に対して、L²-有界な第二基本形式をもつWillmore汎関数の強固な変分的枠組みを構築すること。
• 微分同相不変性に起因するゲージの退化を解消するため、Coulombゲージ条件を用いて共形構造を固定すること。
• 任意の与えられた共形類において、Willmoreエネルギーを最小化する埋め込みの存在を証明すること、分岐点を含む場合も含む。
• 最小化子の正則性を同定すること：分岐型埋め込みは、共形Willmoreまたはグローバル等角埋め込みであり、エネルギーが 8π より小さい場合には分岐点をもたない。
• モジュライ空間におけるPalais-Smale列のコンパクト性および弱極限の性質を確立し、新たな臨界点のmin-max構成を可能にする。

提案手法

• フレーム場にCoulomb条件を課すために、埋め込みに共形微分同相を合成するゲージ固定手続きを導入する。
• Willmore汎関数の共形不変性と恒等式 E(Φ) = ∫|dn|² dvol_g を用いて、問題をガウス写像のDirichletエネルギーに再定式化する。
• Wenteの定理とPoincaréの補題を用いて、ガウス写像およびその微分のL²制御から正則構造を回復する。
• リーマン写像定理と擬等角推定を用いて、共形因子を制御し、埋め込みの Hölder 正則性を証明する。
• De Giorgi-Nash理論を用いて、第二基本形式のL²束縛の下で対数的共形因子の Hölder 継続性を確立する。
• 正則写像の点除去定理を適用し、W^{2,2} 共形埋め込みにおける特異点が孤立的でかつ有限位数であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の共形類制約のもとで、閉じた曲面のWillmoreエネルギーを最小化する埋め込みの存在を証明できるか？
• RQ2 L²-有界なWillmore最小化子における分岐点の性質は何か？また、いつ分岐点が消えるのか？
• RQ3 共形構造のモジュライ空間において、Palais-Smale列の弱極限はどのように振る舞うか？
• RQ4 この変分的枠組みを、min-max法によるWillmore汎関数の新たな臨界点の構成に拡張できるか？
• RQ5 孤立した分岐点近傍におけるW^{2,2} 共形埋め込みの導関数の正確な漸近的挙動は何か？

主な発見

• 任意の閉曲面 Σ と Σ 上の任意の共形類に対して、R^m へのLipschitz埋め込みが存在し、第二基本形式がL²-有界であり、Willmoreエネルギーを最小化する。
• 最小化子は滑らかな共形Willmore分岐型埋め込みまたはグローバル等角分岐型埋め込みのいずれかである。
• ある共形類における最小エネルギーが 8π より小さい場合、最小化子は分岐点をもたず、滑らかな共形Willmore埋め込みに拡張可能である。
• Willmore汎関数のPalais-Smale列の弱極限は、共形Willmore埋め込みである。
• 共形Willmore埋め込みのPalais-Smale列の弱極限は、共形Willmoreまたはグローバル等角埋め込みのいずれかである。
• グローバル等角埋め込みのPalais-Smale列の弱極限はグローバル等角埋め込みであり、これにより新たな臨界点のmin-max構成が可能になる。