[論文レビュー] Variational principles for topological entropies of subsets

De‐Jun Feng, Wen Huang|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2010

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 26被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、位相的力学系における部分集合のボーウェンおよびパッキング位相エントロピーを、不変および非不変測度の測度論的エントロピーに結びつける変分原理を確立する。任意の空でないコンパクト部分集合 $K$ に対して、ボーウェンエントロピー $h_{\rm top}^{B}(T,K)$ が、$\mu(K)=1$ を満たすすべてのボレル確率測度 $\mu$ に対する下位測度論的エントロピー $\underline{h}_{\mu}(T)$ の上界に等しいことを証明する。同様に、上位エントロピーを用いたパッキングエントロピーに対しても同様の関係が成り立つ。これらの結果は、やや弱い条件下で解析的集合に対しても拡張可能である。

ABSTRACT

Let $(X,T)$ be a topological dynamical system. We define the measure-theoretical lower and upper entropies $\underline{h}_μ(T)$, $\bar{h}_μ(T)$ for any $μ\in M(X)$, where $M(X)$ denotes the collection of all Borel probability measures on $X$. For any non-empty compact subset $K$ of $X$, we show that $$\htop^B(T, K)= \sup \{\underline{h}_μ(T): μ\in M(X),\; μ(K)=1\}, $$ $$\htop^P(T, K)= \sup \{\bar{h}_μ(T): μ\in M(X),\; μ(K)=1\}. $$ where $\htop^B(T, K)$ denotes Bowen's topological entropy of $K$, and $\htop^P(T, K)$ the packing topological entropy of $K$. Furthermore, when $\htop(T)

研究の動機と目的

• 位相的力学系の非不変コンパクトおよび解析的部分集合に対して、位相エントロピーの古典的変分原理を拡張すること。
• 任意のボレル確率測度 $\mu \in M(X)$ に対して、$T$-不変であるとは限らない下位および上位測度論的エントロピー $\underline{h}_{\mu}(T)$ および $\overline{h}_{\mu}(T)$ を定義し、それらを分析すること。
• コンパクトおよび解析的部分集合 $K \subset X$ のボーウェン位相エントロピー $h_{\rm top}^{B}(T,K)$ およびパッキング位相エントロピー $h_{\rm top}^{P}(T,K)$ に対する変分原理を確立すること。
• 解析的集合における位相エントロピーの振る舞いを調査し、解析的集合のエントロピーがそのコンパクト部分集合のエントロピーの上界に等しいことを示すこと。
• 非不変集合に対しては、すべての $T$-不変測度 $\mu$ に対して $\mu(K) = 0$ であっても $h_{\rm top}^{B}(T,K) > 0$ が成り立つという課題を、$M(X)$ 内の一般測度に注目することで克服すること。

提案手法

• 点ごとのエントロピー $\underline{h}_{\mu}(T,x)$ および $\overline{h}_{\mu}(T,x)$ を用いて、ボーウェン距離 $d_n$ における $n$-ボール近傍の測度の漸近的減少率に基づき、測度論的下位および上位エントロピー $\underline{h}_{\mu}(T)$ および $\overline{h}_{\mu}(T)$ を定義する。
• ボーウェン距離 $d_n(x,y) = \max_{0 \leq k < n} d(T^k x, T^k y)$ を用いて、$d_n$-距離における $\epsilon$-ボールの被覆およびパッキングを用いて、集合 $K$ のエントロピーを定義する。
• コンパクトな $K$ に対して、$\mu(K) = 1$ を満たすすべての $\mu \in M(X)$ に対する $\underline{h}_{\mu}(T)$ の上界が $h_{\rm top}^{B}(T,K)$ に等しいことを、$K_i$ に台を持つネストされたコンパクト集合に沿った測度 $\mu_i$ の再帰的構成を用いて証明する。
• 解析的集合 $Z$ に対して、$K \subset Z$ となるコンパクト部分集合に台を持つ弱*収束測度 $\tilde{\mu}$ の存在を確立し、正規化された $\mu = \tilde{\mu}/\tilde{\mu}(K)$ に対して $\overline{h}_{\mu}(T) \geq s$ を示す。
• 解析的集合 $Z$ に対して、$h_{\rm top}^{B}(T,Z)$ がすべてのコンパクト部分集合 $K \subset Z$ に対する $h_{\rm top}^{B}(T,K)$ の上界に等しいことを、カントール対角線形法およびネストされたコンパクト集合を用いて証明する。
• 無限積 $\prod_{n=1}^\infty (1 + 2^{-n}) < \infty$ の事実を用いて、スケール間の測度歪みを制御し、$j > i$ に対して $\mu_i(F_i) \leq C \mu_j(F_i)$ を満たす一様定数 $C$ の存在を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非不変コンパクト集合 $K$ のボーウェン位相エントロピー $h_{\rm top}^{B}(T,K)$ に対して、$\mu(K)=1$ を満たす一般のボレル確率測度 $\mu$ の測度論的エントロピーを用いて、変分原理を確立できるか？
• RQ2 上位測度論的エントロピー $\overline{h}_{\mu}(T)$ を用いた場合、コンパクト集合 $K$ に対してパッキング位相エントロピー $h_{\rm top}^{P}(T,K)$ の変分原理が成り立つか？
• RQ3 $h_{\rm top}(T) < \infty$ のとき、コンパクト集合から解析的部分集合 $Z$ への $h_{\rm top}^{B}(T,Z)$ の変分原理の拡張は可能か？
• RQ4 解析的集合 $Z$ の位相エントロピーは、そのコンパクト部分集合のエントロピーの上界に等しいか？
• RQ5 解析的集合の性質が、$T$-不変測度が $Z$ にゼロ測度を与える場合に、非不変集合への変分原理の拡張において果たす役割は何か？

主な発見

• 任意の空でないコンパクト部分集合 $K \subset X$ に対して、ボーウェン位相エントロピーは $h_{\rm top}^{B}(T,K) = \sup \{ \underline{h}_{\mu}(T) : \mu \in M(X), \mu(K) = 1 \}$ を満たし、下位測度論的エントロピーを用いた変分原理が確立される。
• 任意の解析的部分集合 $Z \subset X$ に対して、パッキング位相エントロピーは $h_{\rm top}^{P}(T,Z) = \sup \{ h_{\rm top}^{P}(T,K) : K \subset Z \text{ はコンパクト} \}$ を満たし、解析的集合のエントロピーがそのコンパクト部分集合によって決定されることを示す。
• $h_{\rm top}(T) < \infty$ のとき、ボーウェンエントロピーの変分原理は解析的集合へ拡張可能であり、$h_{\rm top}^{B}(T,Z) = \sup \{ \underline{h}_{\mu}(T) : \mu \in M(X), \mu(Z) = 1 \}$ が成り立つ。これは $Z$ が $T$-不変でない場合でも成り立つ。
• 上位測度論的エントロピー $\overline{h}_{\mu}(T)$ は、$K \subset Z$ に台を持つ構成された測度 $\mu$ に対して $\overline{h}_{\mu}(T) \geq s$ を満たす。ここで $s$ は集合 $Z$ のエントロピーである。これは、エントロピーの上界に達する測度の存在を示す。
• エントロピーの減少率 $\mu_i(\overline{B}(x,\gamma_i)) \sim e^{-m_i(x)s}$ を制御し、一様な歪み定数 $C = \prod_{n=1}^\infty (1 + 2^{-n}) < \infty$ を用いることで、弱*収束測度 $\tilde{\mu}$ が存在し、$\tilde{\mu}(K) \in [1, 2C]$ を満たすことを保証する。
• 任意の $z \in K$ に対して、$k_i \to \infty$ を満たす列 $k_i$ が存在し、$\mu(B_{k_i}(z,\epsilon)) \leq C e^{-k_i s} / \tilde{\mu}(K)$ を満たす。この不等式は $\overline{h}_{\mu}(T) \geq s$ を意味し、パッキングエントロピーの変分原理の証明に寄与する。