[論文レビュー] Variational principles of nonlinear magnetoelastostatics and their correspondences

Basant Lal Sharma, Prashant Saxena|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2020

Vibration Control and Rheological Fluids参考文献 40被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、非線形磁気弾性静力学における5つの変分原理を導出し、比較する。これらはラプラス変換とマクスウェル方程式を通じて同等であることが示され、すべての定式化において一貫した屈曲方程式が得られる。境界条件およびマクスウェル応力テンソルが、磁気エネルギーが有限領域か無限領域上で定義されるかに大きく依存することを明らかにする。

ABSTRACT

We derive the equations of nonlinear magnetoelastostatics using several variational formulations involving the mechanical deformation and an independent field representing the magnetic component. An equivalence is also discussed, modulo certain boundary integrals or constant integrals, between these formulations using the Legendre transform and properties of Maxwell's equations. The second variation based bifurcation equations are stated for the incremental fields as well for all five variational principles. When the total potential energy is defined over the infinite space surrounding the body, we find that the inclusion of certain term in the energy principle, associated with the externally applied magnetic field, leads to slight changes in the Maxwell stress tensor and associated boundary conditions. On the other hand, when the energy contained in the magnetic field is restricted to finite volumes, we find that there is a correspondence between the discussed formulations and associated expressions of physical entities. In view of a diverse set of boundary data and nature of externally applied controls in the problems studied in the literature, along with a equally diverse list of variational principles employed in modeling, our analysis emphasizes care in the choice of variational principle and unknown fields so that consistency with other choices is also satisfied.

研究の動機と目的

• 非線形磁気弾性静力学における平衡および屈曲方程式を、複数の変分形式を用いて一貫して導出すること。
• ラプラス変換および発散定理の応用を通じて、見た目が異なる変分原理の間の同等性を確立すること。
• 独立変数として磁化、磁場、スカラーポテンシャルを用いる選択が境界条件および応力テンソルに与える影響を明確化すること。
• 磁気エネルギーの定義領域を有限領域と無限領域とで変えることによる、マクスウェル応力テンソルおよび境界条件への影響を分析すること。
• 2次変分を用いた安定性解析のための統一的枠組みを提供し、異なるモデル化選択にわたる一貫性を保証すること。

提案手法

• 磁化に基づく3つの定式化（単位体積、単位質量、および場の関数としての変種）に加え、電気弾性静力学に類似した磁場およびスカラーポテンシャルに基づく2つの定式化を含む、5つの異なる変分形式について、全ポテンシャルエネルギーの一次変分を導出する。
• 発散定理を適用して体積積分を境界積分に変換し、平衡および屈曲方程式の導出を可能にする。
• ラプラス変換を用いて、磁化に基づく原理と場に基づく原理との間の同等性を示す。
• エネルギー汎関数の2次変分を導出し、変形および磁場の摂動に対する増分屈曲方程式を求める。
• 2次変分において、マクスウェル応力および磁束密度の変化を表す補助テンソル（eT および ev0）を導入する。
• 線形化された平衡方程式が導出された屈曲条件を再現することにより、一貫性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 磁化、磁場、スカラーポテンシャルに基づく異なる変分原理は、非線形磁気弾性静力学においてどのように同等な平衡方程式を導くのか？
• RQ2 ラプラス変換を通じて変分形式の同等性を確立する際、境界積分および定数項が果たす役割は何か？
• RQ3 磁気エネルギーを無限空間上ではなく有限領域上で定義する場合、マクスウェル応力テンソルおよび関連する境界条件の形にどのような影響を与えるか？
• RQ4 各変分原理の2次変分から導かれる増分屈曲方程式は何か？ それらは安定性解析とどのように関係しているか？
• RQ5 変形および磁場の摂動に対する方程式は、平衡方程式の線形化から一貫して導出可能か？

主な発見

• 5つの変分形式は境界積分または定数項の違いを除いて同等であり、ラプラス変換およびマクスウェル方程式の性質を通じて同等性が確立される。
• 磁気エネルギーが無限空間上で定義される場合、外部磁場項の導入がマクスウェル応力テンソルを変化させ、境界条件を変更する。
• 有限領域の定式化においては、変分原理と物理的実体（応力、磁束密度）の間に直接的な対応関係が存在し、モデリングの一貫性が保証される。
• 2次変分により、5つの定式化すべてに対して一貫した屈曲方程式が得られ、増分場は線形化された平衡および境界条件を満たす。
• マクスウェル応力テンソルの摂動（△Pm）および磁束密度の摂動（△B）は、導出されたテンソル eT および ev0 を介して、変形および磁場の変化と厳密に結びついている。
• 平衡方程式の線形化が導出された屈曲方程式を再現するため、2次変分の手法の整合性および妥当性が確認される。