[論文レビュー] Variational problems for Riemannian functionals and arithmetic groups

Alexander Nabutovsky, Shmuel Weinberger|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 1997

advanced mathematical theories被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、次元 ≥5 のコンパクト多様体上の計量の等長同値類の空間におけるリーマン汎関数を研究するための新しい変分的手法を導入する。与えられた多様体 M^n における問題を、リッチ曲率とスカラー曲率の性質が制御された多様体の族に還元することにより、有界な断面曲率を持つリーマン構造の閉包における直径汎関数が無限に多くの「非常に深い」局所的最小値を有することを証明する。

ABSTRACT

In this paper we introduce a new approach to variational problems on the space Riem(M^n) of Riemannian structures (i.e. isometry classes of Riemannan metrics) on any fixed compact manifold M^n of dimension n >= 5. This approach often enables one to replace the considered variational problem on Riem(M^n) (or on some subset of Riem(M^n)) by the same problem but on spaces Riem(N^n) for every manifold N^n from a class of compact manifolds of the same dimension and with the same homology as M^n but with the following two useful properties: (1) If νis any Riemannian structure on any manifold N^n from this class such that Ric_(N^n,ν) >= -(n-1), then the volume of (N^n,ν) is greater than one; and (2) Manifolds from this class do not admit Riemannian metrics of non-negative scalar curvature. As a first application we prove a theorem which can be informally explained as follows: Let M be any compact connected smooth manifold of dimension greater than four, M et(M) be the space of isometry classes of compact metric spaces homeomorphic to M endowed with the Gromov-Hausdorff topology, Riem_1(M) in M et(M ) be the space of Riemannian structures on M such that the absolute values of sectional curvature do not exceed one, and R_1(M) denote the closure of Riem_1(M) in M et(M ). Then diameter regarded as a functional on R_1(M) has infinitely many "very deep" local minima.

研究の動機と目的

• 次元 n ≥ 5 のコンパクト多様体上における変分問題を解析するための新しい手法を開発すること。
• Riem(M^n) 上の変分問題を、M^n と同じホモロジーを持つが、望ましい幾何的制約を持つモデル多様体 N^n のクラス上の等価問題に置き換えること。
• モデル多様体に対して、特にリッチ曲率が下から有界であることと、非負のスカラー曲率を持つ計量が存在しないことといった幾何的条件を確立し、より強い解析的制御を可能にすること。
• この手法を応用して、有界な断面曲率を持つリーマン構造の閉包における直径汎関数が無限に多くの「非常に深い」局所的最小値を有することを証明すること。
• このような最小値が、対称性や低次元性の影響ではなく、構造的に安定していることを示すこと。

提案手法

• M^n と同じホモロジーを持つが、任意の計量 ν に対して Ric(N^n, ν) ≥ -(n−1) ならば vol(N^n, ν) > 1 が成り立つような、コンパクトな n 次元多様体 N^n のクラスを導入すること。
• これらのモデル多様体上で非負のスカラー曲率を持つリーマン計量が存在しないことを利用して、特定の幾何的崩壊を除外すること。
• トポロジー的および幾何的不変性を活用して、Riem(M^n) 上の変分問題を、構成されたクラスに属するすべての N^n における Riem(N^n) 上の等価問題に還元すること。
• Gromov-Hausdorff位相を用いて、M に同相なコンパクト距離空間の空間内における Riem_1(M) の閉包 R_1(M) を分析すること。
• 曲率の制約、体積の制御、スカラー曲率の障害の相互作用を用いて、直径汎関数の臨界点を分析すること。
• 直径汎関数 R_1(M) 上に、無限に多くの「非常に深い」局所的最小値が存在することを確立する——つまり、近傍の臨界値から顕著なエネルギーギャップを有するもので、安定性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された多様体 M^n 上におけるリーマン構造の空間上の変分問題は、曲率と体積が制御されたモデル多様体のクラスに還元可能か？
• RQ2 モデル多様体にどのような幾何的制約を課すと、体積が下から有界であり、非負のスカラー曲率を持つ計量が存在しないことが保証されるか？
• RQ3 有界な断面曲率を持つリーマン構造の閉包における直径汎関数は、無限に多くの局所的最小値を有するか？
• RQ4 これらの局所的最小値は、近傍の臨界値との間に顕著なエネルギーギャップを有するという意味で「非常に深い」ものか？
• RQ5 このような最小値の存在は、特定のトポロジー的および曲率的性質を持つ多様体への還元によって確立可能か？

主な発見

• 任意の次元 n ≥ 5 のコンパクトで連結で滑らかな多様体 M^n に対して、|断面曲率| ≤ 1 であるリーマン構造の閉包 R_1(M) 上の直径汎関数は無限に多くの局所的最小値を有する。
• これらの局所的最小値は「非常に深い」ものであり、近傍の臨界値から顕著なエネルギーギャップを有するため、安定性が示唆される。
• 還元法は、M^n と同じホモロジーを持つモデル多様体 N^n のクラスに依存しており、Ric(N^n, ν) ≥ -(n−1) ⇒ vol(N^n, ν) > 1 が成り立つ。
• モデル多様体は、非負のスカラー曲率を持ついかなるリーマン計量も持たないため、退化した振る舞いを防ぐために不可欠である。
• この手法により、Riem(M^n) 上の変分問題を、クラスに属するすべての N^n に対して Riem(N^n) 上に移行でき、臨界点の構造が保存される。
• この結果は、算術的群作用と曲率制御を介して、幾何的変分問題における臨界点の増殖をもたらす新しいメカニズムを確立する。