[論文レビュー] Variational problems of nonlinear elasticity theory in certain classes of mappings with finite distortion

Anastasia Molchanova, S. K. Vodopyanov|arXiv (Cornell University)|Aug 27, 2015

Elasticity and Material Modeling参考文献 26被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、非線形弾性における変分問題の最小化子の存在を示すために、新たな許容変形のクラスを導入した。このクラスは、有限の歪みと可積分な歪み特性 $ M(x) \in L_s(\Omega) $、$ s > n-1 $ を持つ $ W^1_n(\Omega) $ 内の写像からなる。保存エネルギー関数の多凸性と強制性のもとで、補間コンパクトネスとマズールの補題を用いて弱下半連続性と解の存在を証明し、ボールの枠組みをより緩いsummabilityおよび成長条件へと拡張した。

ABSTRACT

We study the problem of minimizing the functional $$ I(φ)=\int\limits_Ω W(x,Dφ)\,dx $$ on a new class of mappings. We relax summability conditions for admissible deformations to $φ\in W^1_n(Ω)$ and growth conditions on the integrand $W(x,F)$. To compensate for that, we impose the finite distortion condition and the condition $\frac{|Dφ(x)|^n}{J(x,φ)} \leq M(x) \in L_{s}(Ω)$, $s>n-1$, on the characteristic of distortion. On assuming that the integrand $W(x,F)$ is polyconvex and coercive, we obtain an~existence theorem for the problem of minimizing the functional $I(φ)$ on a new family of admissible deformations. KEYWORDS: functional minimization problem, nonlinear elasticity, mapping with finite distortion, polyconvexity.

研究の動機と目的

• 古典的な $ W^{1,p} $ 空間（$ p > n $）を超えて、非線形弾性における最小化子の存在理論を拡張すること。
• 保存エネルギー関数および変形勾配の強制性とsummability条項を緩和すること。
• より強い可積分性仮定の代わりに、有限歪み条項および $ M(x) \in L_s(\Omega) $、$ s > n-1 $ の可積分性を組み込むこと。
• 特異的ヤコビアンを有するが歪みが制御された写像を含む、新たな許容変形のクラスにおける最小化子の存在を示すこと。
• 多凸性とコンパクトネスの議論を用いて、緩和された条件下でのエネルギー汎関数の弱下半連続性を確立すること。

提案手法

• 許容変形の新たなクラス $ \mathcal{A} $ を定義し、写像 $ \varphi \in W^1_n(\Omega) $ で、有限歪みかつ $ \frac{|D\varphi(x)|^n}{J(x,\varphi)} \leq M(x) \in L_s(\Omega) $、$ s > n-1 $ を満たすものとする。
• 保存エネルギー関数 $ W(x,F) $ の多凸性を仮定し、$ F $、$ \operatorname{Adj}F $、および $ \det F $ の凸関数として表現可能であることを保証する。
• 強制性を $ W(x,F) \geq \alpha(\|F\|^p + \|\operatorname{Adj}F\|^q + (\det F)^r) + g(x) $ の形で仮定し、$ p > n-1 $、$ q \geq p/(p-1) $、$ r > 1 $、$ g \in L_1(\Omega) $ とする。
• マズールの補題を用いて、最小化写像の部分列を抽出し、$ W^1_n \times L_{n/(n-1)} \times L_r $ で弱収束する凸結合を得る。
• ファトウの補題と代表関数 $ G $ の凸性を用いて、エネルギー汎関数の逐次的弱下半連続性を証明する。
• 歪み制御と単射性の議論を用いて、境界条件のもとで、極限写像 $ \varphi_0 $ が a.e. で $ J(x,\varphi_0) > 0 $ を満たし、ホメオモーフィズムであることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 保存エネルギー関数の可積分性および成長条件を弱めた場合でも、非線形弾性における最小化子の存在は保証されるか？
• RQ2 有限歪み条件と $ M(x) \in L_s(\Omega) $、$ s > n-1 $ を組み合わせることで、ヤコビアンの制御と解の存在が保証されるか？
• RQ3 多凸性と強制性を用いて、この一般化された設定においてエネルギー汎関数の弱下半連続性を証明できるか？
• RQ4 境界データがホメオモーフィズムである場合でさえ、強制性条件を緩和しても解写像はホメオモーフィズムであるか？
• RQ5 古典的なボールの存在枠組みを、$ p > n $ を要件としない $ W^1_n(\Omega) $ 内の写像へと拡張できるか？

主な発見

• 多凸性と強制性のもとで、$ p = n $ であっても、汎関数 $ I(\varphi) = \int_\Omega W(x,D\varphi)\,dx $ に対して最小化子 $ \varphi_0 \in \mathcal{A} $ の存在が確立された。
• より強い可積分性仮定の代わりに、歪み特性 $ \frac{|D\varphi|^n}{J(x,\varphi)} \leq M(x) \in L_s(\Omega) $、$ s > n-1 $ が用いられ、$ W^1_n $-写像の使用を可能にした。
• ファトウの補題と代表関数 $ G $ の凸性を用いて、エネルギー汎関数の弱下半連続性が証明され、$ I(\varphi_0) \leq \varliminf_{k\to\infty} I(\varphi_k) $ が保証された。
• 極限写像 $ \varphi_0 $ は $ \Omega $ almost everywhere で $ J(x,\varphi_0) > 0 $ を満たし、境界条件がホメオモーフィズムである場合には $ \varphi_0 $ 自身がホメオモーフィズムである。
• $ W_1(F) \geq \alpha\|F\|^p + \|\operatorname{Adj}F\|^q + c(\det F)^r + d(\det F)^{-s} $ を満たすオグデン型材料に対しても、$ p = n $ の場合でも適用可能である。
• ボールの存在理論が、$ \det F \to 0_+ $ のとき $ W(F) \to \infty $ を要件としない場合にも拡張可能であり、新たな歪み制御のもとで最小化子の存在が保証されることを示した。