[論文レビュー] Variational problems on classes of convex domains

Nicolas Van Goethem|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2007

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 14被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、有界集合 $D \subset \mathbb{R}^N$ 内の固定体積を持つ凸領域の族上での変分問題に対して最小化子の存在を確立する。一様収束（ハウスドルフ距離と同値）と下半連続性を用いることで、楕円型作用素の固有値やニュートンの最小抵抗問題などの汎関数が、この族上で下界を達成することを証明し、一般の偶数階楕円型作用素へ拡張する。

ABSTRACT

We prove the existence of minimizers for functionals defined over the class of convex domains contained inside a bounded set D of R^N and with prescribed volume. Some applications are given, in particular we prove that the eigenvalues of differential operators of second and fourth order with non-constant coefficients as well as integral functionals depending on the solution of an elliptic equation can be minimized over this class of domains. Another application of this result is related to the famous Newton problem of minimal resistance. In general, all the results we shall develop hold for elliptic operators of any even order larger that 0.

研究の動機と目的

• 有界集合 $D \subset \mathbb{R}^N$ 内の固定体積を持つ凸領域上で定義された汎関数の最小化子の存在を確立すること。
• 形状最適化におけるコンパクト性の課題に、凸領域の族上の位相として一様収束（ハウスドルフ距離と同値）を用いることにより対処すること。
• 均一性や単調性の仮定を緩和することで、既存の形状最適化結果を一般化すること。
• 定数でない係数をもつ2階および4階楕円型作用素の固有値を含む広範なクラスの汎関数の最小化を証明すること。
• 抽象的枠組みをニュートンの最小抵抗問題を含む具体的な問題に応用すること。

提案手法

• 最適化の定義域として、$D$ 内の開かつ凸な領域で体積が固定された $m$ であるクラス $C_m(D)$ を用いる。
• 凸領域の族におけるコンパクト性を保証するために、一様収束（ハウスドルフ距離と同値）を収束位相として採用する。
• 一様収束下での汎関数の下半連続性を示すことで、変分法の直接法を適用する。
• ラデマッハの定理と凸集合の性質に依拠し、境界の almost everywhere での微分可能性と法線ベクトルの存在を保証する。
• ファトゥの補題と境界間の a.e. 微分可能な写像によるヤコビアンの収束を用いて、表面積分の下半連続性を証明する。
• リース＝コルモゴロフのコンパクト性定理を $L^p(S^{N-1})$ に適用し、境界上の法線ベクトルの収束する部分列を抽出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界集合 $D \subset \mathbb{R}^N$ 内の固定体積を持つ凸領域上で定義された一般の汎関数に対して、最小化子は存在するか？
• RQ2 汎関数の均一性や単調性を仮定しないで、最小化子の存在を確立できるか？
• RQ3 固定体積を持つ凸領域の族内で、ニュートンの最小抵抗問題は解けるか？
• RQ4 定数でない係数をもつ2階および4階楕円型作用素の固有値は、凸領域上で最小化可能か？
• RQ5 凸領域上で一様収束が、直接法が適用可能となる十分なコンパクト性と下半連続性を保証するか？

主な発見

• 有界集合 $D \subset \mathbb{R}^N$ 内の固定体積を持つ凸領域の族は、一様収束（ハウスドルフ距離）に関してコンパクトである。
• 関数 $f$ が法線ベクトル $\nu(x)$ に関して測度可能かつ下半連続である限り、$F(\Omega) = \int_{\partial\Omega} f(x,\nu(x))\,d\mathcal{H}^{N-1}$ の形をした汎関数は、一様収束に関して下半連続である。
• 全抵抗汎関数 $\int_{\partial\Omega} \left( (\nu(x) \cdot A(x))^+ \right)^3 d\mathcal{H}^{N-1}$ に対して最小化子が存在し、これにより凸領域の族内でのニュートンの最小抵抗問題が解かれる。
• この結果は、非定数係数をもつ任意の正の偶数階楕円型作用素の固有値に対しても拡張可能である。
• 凸領域の一様収束下で、境界上の法線ベクトルの収束が保たれ、幾何的量の極限における一貫性が保証される。