[論文レビュー] Variational Quantum Continuous Optimization: a Cornerstone of Quantum Mathematical Analysis

Pablo Bermejo, Román Orús|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 5

ひとこと要約

本論文は、ブロッホ球のパラメータ（2つの角度と1つの半径）を用いて、1キュービットあたり最大3つの連続変数を符号化する変分量子アルゴリズムを提案する。この手法により、NISQデバイス上で連続的な定義域を持つ関数の直接アナログ最適化が可能になる。127キュービットで381次元の関数を扱うことができ、シミュレーションでは数分で相対誤差が10⁻⁴未満の高精度な解が得られる。

ABSTRACT

Here we show how universal quantum computers based on the quantum circuit model can handle mathematical analysis calculations for functions with continuous domains, without any digitalization, and with remarkably few qubits. The basic building block of our approach is a variational quantum circuit where each qubit encodes up to three continuous variables (two angles and one radious in the Bloch sphere). By combining this encoding with quantum state tomography, a variational quantum circuit of $n$ qubits can optimize functions of up to $3n$ continuous variables in an analog way. We then explain how this quantum algorithm for continuous optimization is at the basis of a whole toolbox for mathematical analysis on quantum computers. For instance, we show how to use it to compute arbitrary series expansions such as, e.g., Fourier (harmonic) decompositions. In turn, Fourier analysis allows us to implement essentially any task related to function calculus, including the evaluation of multidimensional definite integrals, solving (systems of) differential equations, and more. To prove the validity of our approach, we provide benchmarking calculations for many of these use-cases implemented on a quantum computer simulator. The advantages with respect to classical algorithms for mathematical analysis, as well as perspectives and possible extensions, are also discussed.

研究の動機と目的

• 近い将来の量子コンピュータにおける連続的数学的解析のための実用的量子アルゴリズムを開発すること。
• 連続関数に対する量子アルゴリズムにおけるデジタル離散化の限界を克服すること。
• NISQデバイスがデジタル化を伴わずに微分方程式の解法といった複雑な微積分タスクを実行できることを示すこと。
• 連続変数最適化に基づく数学的解析のための量子ツールボックスを確立すること。
• 古典的シミュレーションを用いて、高次元問題において高速かつ安定した性能を示すことで、本手法を検証すること。

提案手法

• 各キュービットがブロッホ球の2つの角度（θ, φ）と半径（r）を用いて、最大3つの連続変数を符号化し、連続関数のパラメータをアナログ的に表現可能にする。
• 関数の最小化または最大化のための最適パラメータを抽出するために、量子状態トモグラフィーを用いて変分量子回路を最適化する。
• 連続的最適化を基盤として、特にフーリエ級数の展開係数を量子最適化により求める方法を用いて、任意の級数展開を計算する。
• フーリエ係数は変分最適化により計算され、その後に積分、微分、微分方程式の解法などのタスクが可能になる。
• ラグランジュ乗数を用いた制約付き最適化問題として定式化することにより、微分方程式系、偏微分方程式、積分微分方程式へ一般化可能である。
• 古典的シミュレーションを用いてアルゴリズムをベンチマークし、14キュービットで最大28個の連続変数を含む問題に対して数秒で収束し、高精度を達成することを示した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続パラメータ符号化を用いた変分量子回路は、デジタル離散化を伴わずに高次元の連続的最適化を実行できるか？
• RQ2 NISQデバイス上で、量子最適化による任意関数のフーリエ級数係数の計算はどの程度の精度で可能か？
• RQ3 連続的最適化フレームワークは、微分方程式系や多次元積分に拡張可能か？
• RQ4 高次元問題において、このアプローチの性能とスケーラビリティは古典的シミュレーションでどのようになるか？
• RQ5 現在のノイズの多い量子ハードウェアにおいて、この手法が数学的解析タスクで実用的量子優位性を示せるか？

主な発見

• 非線形微分方程式を[1,2]区間で解く際、8キュービット、11モード、80メッシュポイントを用いて、相対誤差約10⁻⁴を達成した。
• 連立微分方程式系に対しては、12キュービット、7モード、60メッシュポイントを用いて、誤差範囲が10⁻¹〜10⁻²の結果を得た。計算時間は数分で完了した。
• 古典的シミュレーションでは、わずか数秒で14キュービットで最大28個の連続変数を含む関数の最適化が可能である。
• デジタル離散化を伴わず、多次元定積分およびフーリエ展開の直接アナログ計算が可能である。
• 127キュービットの量子プロセッサ（例：IBM-Q System One）を用いれば、本フレームワークにより381次元の連続関数の数学的解析が可能になる。
• アルゴリズムのヒューリスティック性のおかげでノイズに強く、近い将来のNISQデバイスにおける実用性が向上する。