[論文レビュー] Variational Quantum Eigensolver with Constraints (VQEC): Solving Constrained Optimization Problems via VQE

Thinh Viet Le, Vassilis Kekatos|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2023

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、Variational Quantum Eigensolver (VQE) を拡張して制約付き最適化問題を解くハイブリッド量子古典アルゴリズム VQEC を提案する。制約をペナルティ法に依存せずに、変動のあるプライマル・デュアル法を用いて、同時にプライマル量子回路パラメータとデュアルラグランジュ乗数を最適化することで、QCBO、確率的バイナリ方策、確率単体上の大規模線形計画問題に対して高品質な解を得る。数値結果では、繰り返しパラメータ化回路を用いることで収束性と解の品質が向上している。

ABSTRACT

Variational quantum approaches have shown great promise in finding near-optimal solutions to computationally challenging tasks. Nonetheless, enforcing constraints in a disciplined fashion has been largely unexplored. To address this gap, this work proposes a hybrid quantum-classical algorithmic paradigm termed VQEC that extends the celebrated VQE to handle optimization with constraints. As with the standard VQE, the vector of optimization variables is captured by the state of a variational quantum circuit (VQC). To deal with constraints, VQEC optimizes a Lagrangian function classically over both the VQC parameters as well as the dual variables associated with constraints. To comply with the quantum setup, variables are updated via a perturbed primal-dual method leveraging the parameter shift rule. Among a wide gamut of potential applications, we showcase how VQEC can approximately solve quadratically-constrained binary optimization (QCBO) problems, find stochastic binary policies satisfying quadratic constraints on the average and in probability, and solve large-scale linear programs (LP) over the probability simplex. Under an assumption on the error for the VQC to approximate an arbitrary probability mass function (PMF), we provide bounds on the optimality gap attained by a VQC. Numerical tests on a quantum simulator investigate the effect of various parameters and corroborate that VQEC can generate high-quality solutions.

研究の動機と目的

• NISQ 時代の量子ハードウェアにおいて、制約の体系的強制が不十分であるという問題に対処すること。
• ラグランジュ双対性とプライマル・デュアル最適化を活用することで、制約を VQE に原理的かつ体系的に組み込む方法を開発すること。
• 2次的制約付きバイナリ最適化 (QCBO)、確率的方策設計、確率単体上の大規模線形計画問題といった制約付き問題の解法を可能にすること。
• VQC 近似誤差の仮定の下で、量子変動的解と真の最適解との間の性能ギャップを分析すること。
• IBM のシミュレータを用いた量子シミュレーションを通じて、アルゴリズムのロバストネスと収束性を評価すること。

提案手法

• VQEC は、目的関数と制約をデュアル変数を介して結合するラグランジュ関数を用いて制約付き最適化問題を定式化する。
• 変動のあるプライマル・デュアル (PPD) 法を用いて、変動的量子回路 (VQC) パラメータとデュアルラグランジュ乗数の両方を古典的最適化で最適化する。
• PPD 法は、プライマルおよびデュアル変数を摂動された点で更新することで、ラグランジュ関数の厳密な凸性・凹性を必要とせずに収束を保証する。
• コストと制約の観測量を同時に測定することでオーバーヘッドを最小限に抑え、勾配推定にはパラメータシフト則を活用する。
• VQC の繰り返しパラメータ化 (L > 1) をサポートすることで、表現力と解の品質を向上させる。
• アルゴリズムは、対角観測量問題に適用可能であり、QCBO、チャンス制約付きバイナリ方策、確率単体上の大規模線形計画問題を含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ペナルティ法に依存せずに、ハイブリッド量子古典アルゴリズムが変動的量子最適化における制約を効果的に強制できるか。
• RQ2 標準的プライマル・デュアル法やペナルティベース手法と比較して、変動のあるプライマル・デュアル法が制約付き VQE における収束性と解の品質をどのように改善するか。
• RQ3 VQC の繰り返しパラメータ化が、制約付き問題における VQEC の解の品質をどの程度向上させるか。
• RQ4 VQC が与えられた誤差境界内でターゲット確率質量関数を近似できるという仮定の下で、VQEC 解の最適性ギャップはいかなるものか。
• RQ5 量子シミュレータを用いて、確率単体上の大規模線形計画問題に対する VQEC の性能はいかがであるか。

主な発見

• VQEC で L=3 の繰り返し VQC パラメータを用いた場合、大規模 LP のテストインスタンス 9 個中 8 個で相対誤差が 20% 未満に抑えられ、L=1 に比べて顕著に優れた性能を示した。
• 変動のあるプライマル・デュアル (PPD) 法は、1 イテレーションあたり追加で 1 ショットの測定しか必要としないにもかかわらず、標準的 PD 法と比較して相対誤差を最大 50% 減少させた。
• VQEC は QCBO および確率的 QCBO 問題に対し、期待値および確率的意味で制約を満たす高品質な解を効果的に生成した。
• 解の品質と収束速度は VQC パラメータ化に敏感であり、過小および過剰パラメータ化された回路は性能を劣化させた。
• 固定ステップサイズとシミュレータのシードを用いて、10 種類の異なる大規模 LP インスタンスに対して一貫した収束を示し、500 イテレーション後に安定した収束を達成した。
• 理論的分析により、VQC がターゲット確率質量関数を近似する誤差に比例して、VQEC の最適性ギャップがスケーリングすることを示した（仮定 3 の下）。