[論文レビュー] Variational Quantum Fidelity Estimation

M. Cerezo, Alexander Poremba+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、低ランク状態 $\rho$ の場合に、量子状態のfidelity $F(\rho,\sigma)$ に対する調整可能で単調にタイトになる上界および下界を計算するハイブリッド量子古典アルゴリズム、変分量子Fidelity推定（VQFE）を紹介する。変分的対角化により $\rho$ を対角化し、$\rho$ の固有基底における $\sigma$ の行列要素を推定し、切り捨てられたFidelityを活用することで、$\widetilde{O}(m^6/\zeta^2)$ の実行時間と加法誤差 $\gamma$ を達成する。$\gamma$ は $m$ が増加するにつれて減少し、従来の手法（例：SSFB）よりもタイトな境界とより少ない量子ビット数を実現する。

ABSTRACT

Computing quantum state fidelity will be important to verify and characterize states prepared on a quantum computer. In this work, we propose novel lower and upper bounds for the fidelity $F(ρ,σ)$ based on the "truncated fidelity" $F(ρ_m, σ)$, which is evaluated for a state $ρ_m$ obtained by projecting $ρ$ onto its $m$-largest eigenvalues. Our bounds can be refined, i.e., they tighten monotonically with $m$. To compute our bounds, we introduce a hybrid quantum-classical algorithm, called Variational Quantum Fidelity Estimation, that involves three steps: (1) variationally diagonalize $ρ$, (2) compute matrix elements of $σ$ in the eigenbasis of $ρ$, and (3) combine these matrix elements to compute our bounds. Our algorithm is aimed at the case where $σ$ is arbitrary and $ρ$ is low rank, which we call low-rank fidelity estimation, and we prove that a classical algorithm cannot efficiently solve this problem. Finally, we demonstrate that our bounds can detect quantum phase transitions and are often tighter than previously known computable bounds for realistic situations.

研究の動機と目的

• 近い将来の量子計算の検証に不可欠な、低ランク量子状態 $\rho$ と任意の状態 $\sigma$ 間のFidelityを効率的に推定するハイブリッド量子古典アルゴリズムの開発。
• 標準の複雑性仮定のもとで、$\rho$ が低ランクの場合に古典的手法によるFidelity推定が計算的に不可能であることを示す。
• $\rho$ の $m$ 個の最大固有値を保持した切り捨てバージョン $\rho_m$ における $m$ の増加に伴い、$F(\rho,\sigma)$ の境界が単調にタイトになるようにする。
• 従来の手法（例：SSFB）の $4n+1$ ビットと比較して、$2n+1$ ビットのみを要するというリソースの過剰な負荷を低減する。

提案手法

• $\rho$ の固有基底を準備するための、パラメータ化された量子回路を用いた変分的対角化により、最大固有値と固有状態を推定する。
• Swap Test を用いて、$\rho$ の固有基底における行列要素 $\sigma_{ij} = \langle \psi_i | \sigma | \psi_j \rangle$ を $2n+1$ ビットで推定する。
• 固有値の $m$ 個の最大値に射影された状態 $\rho_m$ における切り捨てられたFidelity $F(\rho_m, \sigma)$ を計算し、境界を生成する。
• Fidelityスペクトルと摂動理論に基づく新しい不等式を用いて、$F(\rho,\sigma)$ の上界および下界を構築する。
• 集中限界と誤差伝播を用いて、$\epsilon = \|\rho - \rho_m\|_1$、$C$（対角化誤差）、$\zeta$（推定精度）に依存する総加法誤差 $\gamma$ を制限する。
• Fidelityスペクトル（すべての切り捨てられたFidelity $F(\rho_m, \sigma)$ の集合）を、$F(\rho,\sigma)$ だけに依存するものよりも豊かな状態類似度の特徴付けとして構築する。

Figure 1: The VQFE algorithm. (1) First, $\rho$ is diagonalized with a hybrid quantum-classical optimization loop, outputting the largest eigenvalues $\{r_{i}\}$ of $\rho$ and a gate sequence that prepares the associated eigenvectors. (2) Second, a hybrid quantum-classical computation gives the matr

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準の複雑性仮定のもとで、古典的手法が失敗する低ランク状態のFidelity推定を、効率的に実行できるか。
• RQ2 $m$（保持された固有モードの数）を増加させることで、Fidelityの境界が単調にタイトになるハイブリッド量子古典アルゴリズムを設計できるか。
• RQ3 タイトさとリソースコストの観点から、最新のサブ・スーパーファイデリティ境界（SSFB）と比較して、本手法の境界性能はどのように異なるか。
• RQ4 Fidelityスペクトルは、単一のFidelity値よりも、量子状態間の類似度に関するより豊かなインサイトを提供できるか。
• RQ5 所望のFidelity近似精度を達成するための、提案手法の量子回路の複雑度と誤差スケーリングは何か。

主な発見

• VQFEは $\widetilde{O}(m^6/\zeta^2)$ の実行時間を達成し、加法誤差 $\gamma = \sqrt{2\epsilon + (2+\sqrt{2})\sqrt{mC}} + \sqrt{\epsilon + \sqrt{mC}} + \zeta\|T\|$ を有する。ここで $\epsilon = \|\rho - \rho_m\|_1$、$C$ は対角化誤差、$\zeta$ は推定精度を制御する。
• アルゴリズムは、確率 $1-\delta$ 以上で $F(\rho,\sigma)$ の $\pm\gamma$ 近似を出力し、$m$ が増加するにつれて誤差 $\gamma$ が単調に減少する。
• VQFEは $2n+1$ ビットのみを必要とし、従来のSSFB手法の $4n+1$ ビットと比較して、リソース効率が著しく向上する。
• 数値的実験では、VQFEの境界はSSFBの境界よりもタイトであり、特に現実的な低ランク状況で顕著に優れている。また、Fidelityスペクトルを追跡することで、量子相転移を検出可能である。
• Fidelityスペクトル（すべての切り捨てられたFidelity $F(\rho_m, \sigma)$ の集合）は、単一のFidelity値よりも、状態類似度に関するより豊かな情報を提供する。
• 理論的解析により、標準の複雑性仮定のもとで、古典的手法では低ランクFidelity推定を効率的に解くことは不可能であることが証明され、VQFEのような量子アルゴリズムの必要性が裏付けられる。

Figure 2: Implementations of VQFE on IBM’s quantum computer simulator. The left (right) panel shows bounds on $F(\rho,\sigma)$ (solid straight line) versus $m$ for a random state $\sigma$ and a tensor product state $\rho$ of $n=3$ $(n=6)$ qubits with $\text{rank}(\rho)=4$ $(\text{rank}(\rho)=8)$ . D