[論文レビュー] Variational structure of Luttinger-Ward formalism and bold diagrammatic expansion for Euclidean lattice field theory

Lin Lin, Michael Lindsey|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2017

Physics of Superconductivity and Magnetism参考文献 26被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、ユークリッド格子場理論におけるルッティンガー＝ワード形式の厳密な変分的基礎を確立し、相互作用のあるグリーン関数 G に関する Luttinger-Ward 功能関数 Φ[G] の存在および普遍性を証明する。Legendre双対性を用いて、形式的摂動理論や裸プロパゲーターに依存せずに、自己エネルギーおよび自由エネルギーのボールド図式展開を導出し、ダイソン方程式が自由エネルギー汎関数の唯一のグローバル最小化子をもたらすことを示す。

ABSTRACT

The Luttinger-Ward functional was proposed more than five decades ago to provide a link between static and dynamic quantities in a quantum many-body system. Despite its widespread usage, the derivation of the Luttinger-Ward functional remains valid only in the formal sense, and even the very existence of this functional has been challenged by recent numerical evidence. In a simpler and yet highly relevant regime, namely the Euclidean lattice field theory, we rigorously prove that the Luttinger-Ward functional is a well-defined universal functional over all physical Green's functions. Using the Luttinger-Ward functional, the free energy can be variationally minimized with respect to Green's functions in its domain. We then derive the widely used bold diagrammatic expansion rigorously, without relying on formal arguments such as partial resummation of bare diagrams to infinite order.

研究の動機と目的

• 量子多体系におけるLuttinger-Ward汎関数の存在および有効性に関する長年の基礎的問題を解決すること。
• ユークリッド格子場理論における相互作用のあるグリーン関数 G による自由エネルギーの厳密な変分的定式化を確立すること。
• 形式的摂動理論や裸プロパゲーターに依存せずに、自己エネルギーおよびLuttinger-Ward汎関数のボールド図式展開を導出すること。
• ダイソン方程式が物理的グリーン関数の空間における自由エネルギー汎関数の唯一のグローバル最小化子であることを証明し、非摂動的領域における自己無撞着近似を正当化すること。

提案手法

• 物理的グリーン関数 G ∈ Sn++ における制約付き最小化を用いて、ギブズ自由エネルギー Ω[A] を変分的最小値として定式化する。
• すべての確率密度が G に写像する範囲で、エントロピーから相互作用エネルギーを引いたものの上界として、Legendre双対 F[G] を定義する。
• 2F[G] から対数発散項 (Tr[log G] + Φ₀) を差し引くことにより、Luttinger-Ward汎関数 Φ[G] を構成し、普遍性および境界連続性を保証する。
• Legendre双対性フレームワークを用いて、G と非相互作用グリーン関数 G₀⁻¹ の逆行列との間の一対一対応を確立する。
• 相互作用強度 ε における漸近級数展開を用い、図式的再結合により自己エネルギーおよびLuttinger-Ward汎関数の係数を同定する。
• 線形基底変換における Φ[G; U] の変換則を活用し、ランク落ちする G を持つ低次元問題に問題を還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非摂動的設定において、グリーン関数 G の関数としてのLuttinger-Ward汎関数 Φ[G] は、定義された普遍的汎関数として存在するか？
• RQ2 裸の図式の部分的再結合に依存せずに、自己エネルギーおよび自由エネルギーのボールド図式展開を厳密に導出できるか？
• RQ3 物理的グリーン関数の空間において、ダイソン方程式は自由エネルギー汎関数の唯一のグローバル最小化子か？
• RQ4 Luttinger-Ward汎関数は、その特異的境界挙動と物理的内容を分離する方法でどのように構成できるか？

主な発見

• Luttinger-Ward汎関数 Φ[G] は、非相互作用プロパゲーターに依存しない、ユークリッド格子場理論における相互作用のあるグリーン関数 G の普遍的汎関数として厳密に構成された。
• 自由エネルギーはすべての物理的グリーン関数 G ∈ Sn++ における変分的最小化を経て最小化され、その唯一の最小化子はダイソン方程式の解で与えられる。
• 自己エネルギーのボールド図式展開は、裸プロパゲーターに依存しない相互作用強度 ε における自己エネルギー汎関数の漸近級数として厳密に回復された。
• Φ[G] の汎関数微分は自己エネルギー Σ[G] を与え、これは普遍的かつ Sn++ の境界まで連続である。
• 非相互作用系では Luttinger-Ward汎関数が Φ[G] ≡ 0 を満たすため、物理的整合性が確認された。
• 汎関数 Φ[G] は線形変換に対して不変であり、その値は G がランク落ちする場合、変換則を用いて低次元問題に還元可能である。