[論文レビュー] Variations and estimators for the selfsimilarity order through Malliavin calculus

Ciprian A. Tudor, Frédéri Viens|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2007

Stochastic processes and financial applications参考文献 23被引用数 13

ひとこと要約

この論文では、マルリーニン計算と多重ストラスティック積分を用いて、非ガウス型ローゼンブラット過程の二次変動を分析し、自己相似パラメータ $ H $ の強収束推定器を導出する。主な貢献は、$ H \in (1/2, 2/3) $ の範囲でガウス型漸近分布を達成する、新しい補正推定器の構築である。これは、すべての $ H > 1/2 $ に対して標準推定器が非ガウス型の極限を持つにもかかわらず、達成されたものである。

ABSTRACT

Using multiple stochastic integrals and the Malliavin calculus, we analyze the asymptotic behavior of quadratic variations for a specific non-Gaussian self-similar process, the Rosenblatt process. We apply our results to the design of strongly consistent statistical estimators for the self-similarity parameter $H$. Although, in the case of the Rosenblatt process, our estimator has non-Gaussian asymptotics for all $H>1/2$, we show the remarkable fact that the process's data at time 1 can be used to construct a distinct, compensated estimator with Gaussian asymptotics for $H\in(1/2,2/3)$.

研究の動機と目的

• 非ガウス型ローゼンブラット過程の自己相似パラメータ $ H $ の統計的推定器を、二次変動を用いて開発すること。
• マルリーニン計算と多重ストラスティック積分を用いて、これらの推定器の漸近分布を分析すること。
• 基礎となる過程が非ガウス的であるにもかかわらず、推定器がガウス型漸近的挙動を示す条件を同定すること。
• 標準推定器とは対照的に、$ H \in (1/2, 2/3) $ の範囲でガウス型極限を達成する補正推定器を構築すること。

提案手法

• 自己相似パラメータ $ H \in (1/2, 1) $ を持つ $ q=2 $ ヘルメートス過程としてローゼンブラット過程を表現するために、多重ウィENER–イトウストラスティック積分を用いる。
• マルリーニン計算を用いて、サンプリング周波数が増加する際のローゼンブラット過程の二次変動の漸近的挙動を研究する。
• 正規化された変動過程の分布収束を特定するために、ヌアルルト–オルティス＝ラトール基準を適用する。
• 標準変動統計量を調整することで、極限における非ガウス的成分を相殺する補正推定器を導出する。
• 生成関数 $ G $ の2階テイラー展開を用いて、変動過程の共分散構造を特徴付ける。
• 調整された変動が正規分布に収束するための必要十分条件が $ H \in (1/2, 2/3) $ であることを示し、4次チャノン成分の $ L^2 $-ノルムの挙動に基づく。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ローゼンブラット過程の二次変動は、自己相似パラメータ $ H $ の一貫した推定に用いることができるか？
• RQ2 ローゼンブラット過程の標準二次変動推定器の漸近分布は何か？また、$ H $ に依存するか？
• RQ3 ガウス型漸近分布を達成する補正版の二次変動推定器を構築することは可能か？
• RQ4 どの値の $ H \in (1/2, 1) $ に対して、補正推定器がガウス型極限を達成するか？
• RQ5 ローゼンブラット過程のチャノン展開の構造は、その変動に基づく推定器の収束性にどのように影響するか？

主な発見

• すべての $ H > 1/2 $ に対して、標準二次変動推定器の漸近分布は非ガウス的である。これは、非退化な4次チャノン成分が存在するためである。
• 補正推定器は、$ H \in (1/2, 2/3) $ の範囲でのみ、ガウス型漸近分布を達成する。この範囲では、非ガウス的成分が消えるためである。
• 補正推定器の漸近分散は正であり、$ H $ に依存するため、指定された範囲で一貫した推定が保証される。
• 生成関数 $ G $ の0における2階テイラー展開により、$ H > 1/2 $ の範囲でヘッシアンが正定値であることが確認され、非退化な極限分布の存在を裏付ける。
• $ H \geq 2/3 $ のとき、$ \|g_N \otimes_1 g_N\|_{L^2([0,1]^2)}^2 $ の $ L^2 $-ノルムは0に収束せず、正規分布への収束が妨げられる。
• $ H \in (1/2, 2/3) $ の場合、テイラー展開における混合微分項はガウス型極限を妨げず、調整された推定器が漸近的に正規分布に従うことが保証される。