[論文レビュー] Variations around Eagleson's Theorem on mixing limit theorems for dynamical systems

Sébastien Gouëzel|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2018

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、Eaglesonの定理を2つの新しい設定に拡張する：確率的極限定理および混合力学系における同時条件付き分布。可ergodicで非特異な写像に対して、絶対連続測度が軌道に沿って結合可能であり、これにより、不変測度と絶対連続測度の間で確率的極限定理が保存されることを示した。混合系では、時刻が十分に離れている限り、初期位置と終了位置の両方に対する同時条件付き分布の収束が、Birkhoff和の分布収束を保つことを確立した。

ABSTRACT

Eagleson's Theorem asserts that, given a probability-preserving map, ifrenormalized Birkhoff sums of a function converge in distribution, thenthey also converge with respect to any probability measure which isabsolutely continuous with respect to the invariant one. We prove a versionof this result for almost sure limit theorems, extending results ofKorepanov. We also prove a version of this result, in mixing systems, whenone imposes a conditioning both at time 0 and at time n.

研究の動機と目的

• 力学系における絶対連続測度間の確率的極限定理の一般的結合原理を確立すること。
• Eaglesonの定理が直接適用されない状況において、不変測度から絶対連続測度へのほとんど確実な不変性原理の拡張におけるギャップを解消すること。
• 混合系において、時刻0と時刻nの両方の状態に同時に条件づける場合、Birkhoff和の分布収束が保持されるかを調査すること。
• 時刻が分離された高次条件付き分布に対して、Eagleson型収束を一般化すること。
• 物理的系において、参考測度（例：Lebesgue測度）が不変測度と異なる場合に、極限定理を適用する理論的基盤を提供すること。

提案手法

• σ-有限で非特異的かつ可ergodicな測度µに関して絶対連続な2つの確率測度の間で、軌道に沿った結合を、移動作用素とL1収束に関するYosidaの定理を用いて構築する。
• 時間平均の移動作用素のL1収束に依存して、密度の重なりが増加する順に、繰り返し測度を結合する構成を逐次適用する。
• 混合系では、観測関数ϕ1 ◦T^j と ϕ2 ◦T^{n+j} の時間平均積がL2で積分の積に収束することを、混合性から示す。
• 補題2.3によるテレスコピック補題を用いて、観測関数ϕ1をTでシフトしても、g(Snf/Bn)ϕ2 ◦T^n の積分に影響がないことを示す。これは |f ◦T^n - f|/Bn の減少性に起因する。
• 平均化のテクニックを適用：積分をk回のシフト平均に置き換え、混合性のもとでL2ノルム推定を用いて有界性を導き、一様に小さくなることを示す。
• p階混合性とp個の観測関数の時間平均積が積分の積に収束することを用いて、p重条件付き分布への一般化を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不変測度から任意の絶対連続測度への、ほとんど確実極限定理（例：ほとんど確実不変性原理）の転送は可能か？
• RQ2 混合系において、初期状態と終了状態の両方に条件づける場合、正規化されたBirkhoff和の分布収束は保持されるか？
• RQ3 複数の分離された時刻における同時条件付き分布が、Birkhoff和の極限分布を保つために必要な条件は何か？
• RQ4 複数の条件付き時刻やほとんど確実収束を含む設定において、古典的Eaglesonの定理をどのように拡張できるか？
• RQ5 混合性が、極限定理において、分離された時刻における観測関数の同時分布を、周辺分布の積で近似することをどの程度可能にするか？

主な発見

• 任意の可ergodicで非特異な写像およびσ-有限不変測度µに関して絶対連続な任意の2つの確率測度に対して、軌道に沿った結合が存在し、これにより、これらの測度間でほとんど確実極限定理が保存されることを保証する。
• f(T^n x) = o(r(n)) m-ほとんど surely が成り立つ限り、任意の絶対連続測度m′において、Birkhoff和Snfはr(n)のレートでブラウン運動と結合可能であり、これによりほとんど確実不変性原理が拡張される。
• 混合系では、Bn → ∞ かつϕ1, ϕ2が有界かつL2に属する限り、測度mn(U) = ∫_U ϕ1(x)ϕ2(T^n x) dm(x) において、正規化されたBirkhoff和Snf/BnはZに分布収束する。
• ϕ2の平均が0であれば、∫ ϕ1 g(Snf/Bn) ϕ2 ◦T^n dm → (∫ϕ1)(∫ϕ2)E(g(Z)) が成り立ち、証明は混合性のもとでの観測関数の時間平均積のL2小規模性に依存する。
• p階混合系において、すべての時刻差n_{i+1} - n_i → ∞ となる限り、p重積分∫ ∏ϕi ◦T^{n_i} g(Fn) dm は ∏(∫ϕi) E(g(Z)) に収束する。
• ϕ1とϕ2が非負でなくても、まず平均を引いてゼロ平均のケースに還元でき、線形性と稠密性の議論により、ゼロ平均の場合の結果が十分である。