[論文レビュー] Variations of generalized area functionals and p-area minimizers of bounded variation in the Heisenberg group

Jih-Hsin Cheng, Jenn-Fang Hwang|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2011

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 22被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、ヘイゼンベルク群における放物的凸領域上でのp面積関数のC^0境界値をもつ連続BV最小化子の存在を確立する。p面積関数をベクトル値測度へ拡張し、特異部の寄与を含めた一次および二次変分を分析することにより、擬リーマン幾何におけるp面積最小化子を統一的に扱う枠組みを提供する。リーマン的および擬リーマン的設定におけるp平均曲率の明示的公式が得られる。

ABSTRACT

We prove the existence of a continuous $BV$ minimizer with $C^{0}$ boundary value for the $p$-area (pseudohermitian or horizontal area) in a parabolically convex bounded domain. We extend the domain of the area functional from $BV$ functions to vector-valued measures. Our main purpose is to study the first and second variations of such a generalized area functional including the contribution of the singular part. By giving examples in Riemannian and pseudohermitian geometries, we illustrate several known results in a unified way. We show the contribution of the singular curve in the first and second variations of the $p$-area for a surface in an arbitrary pseudohermitian $3$-manifold.

研究の動機と目的

• ヘイゼンベルク群におけるp面積関数に対して、C^0境界データをもつ連続BV最小化子の存在を確立すること。
• p面積関数の定義域をBV関数からベクトル値レドン測度（特異部を含む）へ拡張すること。
• 擬リーマン的3多様体における、一般化p面積関数の一次および二次変分を分析し、特に特異部の寄与を特定すること。
• 共通の変分的枠組みを通じて、リーマン幾何と擬リーマン幾何における既知の結果を統一すること。
• 微分形式および接続形式を用いて、両設定におけるp平均曲率の明示的公式を導出すること。

提案手法

• p面積関数を、Fが∂KF_I = ∂IF_Kを満たすC^{1,α}ベクトル場であるとき、|Du + F dx|の全変動を用いてベクトル値レドン測度へ一般化する。
• BV_F(Ω)を、測度Du + F dxのもとでの全変動が有限であるL^1関数の集合として定義する。
• 正規直交座標系と放物的凸性の概念を用いて、領域Ωの幾何的制御を保証する。
• 微分形式、内積、リー微分を用いて、一般化p面積関数の一次および二次変分を計算する。
• 体積形式のリー微分を用いて平均曲率の公式を導出し、接続形式および方向微分の項を含める。
• 正規直交双対基底および構造方程式を用いて、リーマン的および擬リーマン的3多様体における明示的計算を行い、平均曲率の公式を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヘイゼンベルク群の放物的凸領域において、C^0境界データをもつ連続BV最小化子はp面積関数に対して存在するか？
• RQ2 変分における測度Duの特異部は、p面積関数の一次および二次変分にどのように寄与するか？
• RQ3 一般化p面積関数の一次および二次変分は、リーマン的および擬リーマン的幾何において一様に表現可能か？
• RQ4 微分形式および接続形式を用いて、擬リーマン的3多様体におけるp平均曲率の明確な表現は何か？
• RQ5 構造方程式および正規直交双対基底は、両幾何設定において一貫した平均曲率の導出をどのように可能にするか？

主な発見

• 任意の有界な放物的凸領域Ω ⊂ R^{2n}（∂Ω ∈ C^{2,α}）において、C^0境界データをもつ連続BV最小化子がp面積関数に対して存在する。
• 一般化p面積関数は、|Du + F dx|という全変動測度を用いてBV関数上で適切に定義され、古典的W^{1,1}設定へ拡張される。
• p面積関数の一次変分には、測度Duの特異部からの寄与が含まれており、ベクトル場における部分積分を用いて明示的に計算される。
• 二次変分の公式は、擬リーマン的3多様体におけるp面積最小化子の安定性に特異曲線の影響を反映している。
• リーマン的設定では、導出された平均曲率の公式は、第二基本形式のトレースに帰着され、一貫性が確認される。
• 擬リーマン的3多様体の設定では、p平均曲率が±ω(e_1)に等しいことが示され、既存の文献と一致する。