[論文レビュー] Variations on a theorem of Tate

Stefan Patrikis|arXiv (Cornell University)|Jul 28, 2012

Advanced Algebra and Geometry参考文献 29被引用数 16

ひとこと要約

この論文は、Tateの古典的定理（射影的ガロア表現のPGL_n(C)への上昇）を、自動形式的およびモチーフ的文脈へと拡張し、W-代数的自動形式的表現に対する条件なしの上昇結果を確立するとともに、ハイパーカイラー多様体に対する一般化されたKuga-Satake構成を展開する。主な貢献は、アーベル・多様体から新しいモチーフ的ホッジ構造を構成するモチーフ的上昇フレームワークであり、標準的予想のもとで、Kuga-Satake多様体を実現するホモロジー的モチーフの存在を証明する。

ABSTRACT

Let $F$ be a number field. These notes explore Galois-theoretic, automorphic, and motivic analogues and refinements of Tate's basic result that continuous projective representations $Gal(\bar{F}/F) o PGL_n(C)$ lift to $GL_n(C)$. We take special interest in the interaction of this result with algebraicity (on the automorphic side) and geometricity (in the sense of Fontaine-Mazur). On the motivic side, we study refinements and generalizations of the classical Kuga-Satake construction. Some auxiliary results touch on: possible infinity-types of algebraic automorphic representations; comparison of the automorphic and Galois "Tannakian formalisms"; monodromy (independence-of-$\ell$) questions for abstract Galois representations.

研究の動機と目的

• ガロア表現の射影的定理を自動形式的およびモチーフ的文脈へ一般化すること。
• G(A_F) から tilde{G}(A_F) への W-代数的自動形式的表現に対する条件なしの上昇結果を確立すること。
• モチーフ的およびホッジ理論的手法を用いて、ハイパーカイラー多様体に対する一般化されたKuga-Satake理論を構築すること。
• 代数的性およびモノドロミーの文脈におけるガロア、自動形式的およびモチーフ的Tannakian形式主義の相違を調査すること。
• 標準的予想のもとで、特にアーベル多様体に対して、Kuga-Satake多様体を実現するホモロジー的モチーフの存在を証明すること。

提案手法

• $\ell$-進ホッジ理論とラベル化されたホッジ＝テイト＝セーン重みを用いて、ガロア表現の構造を分析する。
• 動的サイクルおよび数的モチーフの理論を適用し、ヤング対称化子と射影子を用いて $H(X^r)$ の部分モチーフを構成する。
• Kuga-Satake構成を用いて、ハイパーカイラー多様体 $X$ に対して Kuga-Satake 多様体 $KS(X)$ を関連付け、そのコホロロジーを部分モチーフとして実現する。
• Künneth分解と写像 $c_{p,q}$ を用いて、$H^1(X)^{\otimes r}$ 内の対称および原始的コホロロジーに対応する核を定義する。
• 正規化されたヤング対称化子 $xc_\lambda$ を用いたべき等的代数的対応を構成し、シュール関手 $\mathbb{S}_\lambda(H^1(X))$ を数的モチーフとして定義する。
• 数的モチーフの半単純性および特徴標数 0 における数的同値とホモロジー同値の同値性に依拠し、ホモロジー的モチーフの存在を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 射影的ガロア表現 $\Gamma_F \to \mathrm{PGL}_n(\mathbb{C})$ は、自動形式的およびモチーフ的設定において $\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ に上昇可能か？ Tateの定理の一般化である。
• RQ2 関手的転送 $^L\widetilde{G} \to {}^L G$ における、Tateの $H^2(\Gamma_F, \mathbb{Q}/\mathbb{Z})$ の消滅の自動形式的類似は何か？
• RQ3 Tannakian形式主義を用いて、Kuga-Satake構成を一般化し、ハイパーカイラー多様体に対するモチーフ的ホッジ構造を生成可能か？
• RQ4 標準的予想のもとで、特にTate予想が成り立つ場合、ハイパーカイラーの場合のモチーフ的上昇の存在はどのような条件下で成立するか？
• RQ5 モノドロミーおよび $\ell$-独立性の性質は、自動形式的およびモチーフ的上昇の文脈における抽象的ガロア表現をどのように制約するか？

主な発見

• G(A_F) のカスプ形式的表現は、$\widetilde{G} = (G \times \widetilde{Z})/Z_G$ に対して $\widetilde{G}(A_F)$ に上昇する。ここで $\widetilde{Z}/Z_G$ はトーラスである。これはTateの定理の自動形式的類似を確立する。
• アーベル多様体によって生成される数的モチーフの圏は半単純的かつTannakian的であり、べき等的対応を用いて部分モチーフを構成可能である。
• $c_{p,q}$ の写像の核は、数的モチーフ $M_{p,q}$ として実現され、$\operatorname{Sym}^2(H^1(X)) \otimes H^1(X)^{\otimes r-2}$ および $\operatorname{Prim}^2(X) \otimes H^1(X)^{\otimes r-2}$ に同型である。
• シュール関手 $\mathbb{S}_\lambda(H^1(X))$ は、べき等的 $xc_\lambda \cdot (\pi_X^1)^r$ を用いて、数的モチーフとして実現される。ここで $x$ はヤング対称化子 $c_\lambda$ を正規化する。
• Kuga-Satake多様体 $KS(X)$ は、ホモロジー的モチーフを備えることが示され、重みの考察によりホッジ数が計算可能である。これは、特徴標数 0 において数的同値とホモロジー同値が一致すると仮定したもとで成り立つ。
• ハイパーカイラー多様体のモチーフ的上昇の存在はTate予想に依存するが、ホモロジー的モチーフの圏におけるモチーフの構成という点で、条件なしに成立する。