[論文レビュー] Variations on branching methods for non linear PDEs

Xavier Warin|arXiv (Cornell University)|Jan 26, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 7被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、分散低減技術を用いたモンテカルロシミュレーションを用いて、高次元の半線形および完全非線形PDEを解くための改善された分岐法を提案する。著者らは、新規の後向き再帰スキームと反対変数法を採用することで、分岐過程の適用範囲を長期間の満期およびより複雑な非線形性にまで拡張し、数値的分散を顕著に低減する一方で、計算コストとメモリ使用量を増加させた。

ABSTRACT

The branching methods developed are effective methods to solve some semi linear PDEs and are shown numerically to be able to solve some full non linear PDEs. These methods are however restricted to some small coefficients in the PDE and small maturities. This article shows numerically that these methods can be adapted to solve the problems with longer maturities in the semi-linear case by using a new derivation scheme and some nested method. As for the case of full non linear PDEs, we introduce new schemes and we show numerically that they provide an effective alternative to the schemes previously developed.

研究の動機と目的

• 長期間満期および大きな非線形係数を有する非線形PDEを解く際の従来の分岐法の限界を克服すること。
• 決定的手法が失敗する高次元PDEにおける次元の呪いを克服すること。
• 半線形および完全非線形PDEのモンテカルロベースの解法における収束性の向上と分散低減を実現する新たな数値スキームの開発。
• 高次元における条件付き期待値近似の回帰ベース手法に対する実用的でスケーラブルな代替手法の提供。
• 反対変数法およびネストド後向き再帰が、関数およびその微分評価における数値誤差低減にどの程度有効であるかの検証。

提案手法

• 長期間満期の半線形PDEに対して、安定性および分散制御を向上させる新規の後向き再帰スキームを導入する。
• ゴースト粒子表現に反対変数法を適用し、条件付き期待値のモンテカルロ推定における分散を低減する。
• 2階微分項を含む非線形項をよりよく扱うために、2階の後向き再帰構造を用いる。
• 特に大きな非線形性に対して、分岐過程における分散を安定化させるための正規化技術を実装する。
• [9, 11]で提示された元の分岐法を、粒子の分割および重み付けルールを変更することで、数値的安定性を向上させる形で適応する。
• 後向き確率微分方程式（BSDE）および2階BSDE（SOBSDE）による確率的表現を用いて、PDE解と確率過程を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 元の手法の限界を超えて、長期間満期の半線形PDEを解くために分岐法を拡張できるか？
• RQ2 反対変数法およびネストド後向き再帰は、非線形PDE解のモンテカルロ推定における分散低減にどの程度有効か？
• RQ3 提案スキームは、高次元非線形PDEに対して回帰ベース手法の安定的かつ正確な代替手段を提供できるか？
• RQ4 新しい分岐スキームにおいて、計算コスト、メモリ使用量、分散低減の間のトレードオフはいかなるものか？
• RQ5 新しいスキームは、高次元設定において、解およびその微分の推定にどの程度良好に機能するか？

主な発見

• 新規の後向き再帰スキームにより、元の手法の限界を超えて、満期T=1.5までの半線形PDEを解くことが可能になった。
• 反対変数法を用いたスキーム（バージョン3）は、すべてのテストケースで最小の分散を達成し、元の手法および2番目の再帰スキームを上回った。
• 次元d=4、T=1の場合、解析解はu(0,0.51) = -0.50828であり、反対変数スキームは低誤差でこの値に近い解を達成した。
• 次元d=6、T=1の場合、解析解はu(0,0.51) = -1.20918であり、次元が増加しても反対変数スキームは良好な精度を維持した。
• 関数評価と比較して、(1·Du)による微分推定はわずかに精度が低下したが、すべてのスキームで信頼性を保った。
• ゴースト表現の次数が上昇するに従いメモリコストが増加したが、これは顕著な分散低減によって相殺された。