[論文レビュー] Variations on Prequantization

Alan Weinstein, Marco Zambon|ArXiv.org|Dec 27, 2004

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 36被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、主$U(1)$-束に整合するディラック・ジャコビ構造を定義することにより、ディラック多様体への前量子化を拡張する。これにより、束の切断にポisson代数のハミルトニアン作用を定義可能となる。さらに、特に境界をもつ多様体上での固定点をもつ$U(1)$-作用を許容するように前量子化を一般化し、線束の切断ではなく層値の切断が得られる。これにより、シンプレクティック、ポアソン、およびプレシンプレクティックな前量子化が、統一的な枠組みで扱えるようになる。

ABSTRACT

We extend known prequantization procedures for Poisson and presymplectic manifolds by defining the prequantization of a Dirac manifold P as a principal U(1)-bundle Q with a compatible Dirac-Jacobi structure. We study the action of Poisson algebras of admissible functions on P on various spaces of locally (with respect to P) defined functions on Q, via hamiltonian vector fields. Finally, guided by examples arising in complex analysis and contact geometry, we propose an extension of the notion of prequantization in which the action of U(1) on Q is permitted to have some fixed points.

研究の動機と目的

• ディラック多様体$P$に、主$U(1)$-束$Q$に整合するディラック・ジャコビ構造を備えた前量子化を定義し、シンプレクティック、ポアソン、プレシンプレクティックな前量子化を統一すること。
• 標準的な前量子化を、特に境界をもつ多様体上での固定点をもつ$U(1)$-作用を許容するように拡張し、切断が線束の切断ではなく層値の切断となるようにすること。
• グローバルな極化された切断をコhomologicalまたは非可換構造に置き換えることで、幾何学的量子化を一般化し、ポアソン代数の新しい表現を可能とすること。

提案手法

• ディラック多様体$P$の前量子化を、整合するディラック・ジャコビ構造をもつ主$U(1)$-束$Q$として定義する。
• $Q$上のハミルトニアンベクトル場と$U(1)$-作用の無限小生成子$E$を用いて、$P$上の関数を表す。
• $Q$上の局所関数の空間への$C^inity(P)$の作用を、ベクトル場$-X_f^H + ilde{f}E$を用いて構成する。ここで$ ilde{f} = ilde{f} imes ext{pr}^*f$である。
• $P$に境界がある場合に$U(1)$-作用に固定点を許容し、線束の切断ではなく層値の切断が得られることを示す。
• 複素解析および接触幾何の例を通じて、固定点への拡張を動機づけ、球面の埋め込みやLeBrun-Poisson多様体の前量子化を含む。
• 極化された切断の層コホモロジーと、特徴的foliationの縦方向de Rham複体上の$L_inity$-代数を用いて、コホモロジカルおよび非可換な前量子化の拡張を提案する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、ディラック多様体への前量子化を一般化し、ポアソンおよびプレシンプレクティックな場合を統一できるか？
• RQ2 底面多様体に境界をもつ場合に、前量子化束上の$U(1)$-作用に固定点が存在する場合、その役割は何か？
• RQ3 $U(1)$-作用に固定点が存在する場合、層値の切断を許容するように、標準的な幾何学的量子化手順を拡張できるか？
• RQ4 前量子化段階でのコホモロジカル手法は、$Q$上のポアソン代数の表現をどのように精緻化するか？
• RQ5 特徴的foliationの群様体代数から生じる非可換ポアソン代数は、前量子化可能か？また、それらがどのような表現をもつか？

主な発見

• ディラック多様体$P$の前量子化は、整合するディラック・ジャコビ構造をもつ主$U(1)$-束$Q$を用いて達成され、シンプレクティック、ポアソン、プレシンプレクティックな前量子化を一般化する。
• $Q$上の局所関数の空間への$C^inity(P)$の作用は、ベクトル場$-X_f^H + ilde{f}E$によって実現され、これは$Q$上の接触構造に関して関数$f$のハミルトニアンフローを生成する。
• $U(1)$-作用に固定点が存在する場合（例えば$P$の境界上）には、切断の空間が線束ではなく層となるため、より一般化された幾何学的量子化の枠組みが可能になる。
• 非退化ポアソン構造をもつポアソン多様体（例えばLeBrun-Poisson多様体）の前量子化は、円板の標準的前量子化に貼り合わせることでコンパクト化可能であり、$S^{2n+1}$のようなコンパクト接触多様体が得られる。
• コホモロジカルな前量子化のアプローチにより、局所適切関数の第一層コホモロジーが、$Q$上の局所関数の第二コホモロジーに作用するリー代数の作用が得られ、標準的な表現を一般化する。
• 特徴的foliationの縦方向de Rham複体上に$L_inity$-代数構造を用いることで、非可換前量子化が提案され、ディラック多様体の代数的量子化への新たな道筋が示唆される。