[論文レビュー] Varieties of bicommutative algebras

Vesselin Drensky|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2017

Advanced Topics in Algebra参考文献 17被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、特性 0 の体上の双可換代数の部分多様体の余次元成長を調査する。任意の多項式的恒等式を満たす部分多様体が次数 $k$ の恒等式を持つ場合、その余次元列は次数 $k-1$ の多項式で有界であることが示され、すべての双可換代数の多様体 $ olimits\mathfrak{B}$ が指数 2 で最小であることが立証される。さらに、2 次元代数 $A_{1,-1}$ が多様体 $ olimits\mathfrak{B}$ 全体を生成することを示し、$A_{0,1}$ と $A_{1,0}$ は左および右可換性の恒等式によって定義される部分多様体を生成する。

ABSTRACT

Bicommutative algebras are nonassociative algebras satisfying the polynomial identities of right- and left-commutativity (xy)z=(xz)y and x(yz)=y(xz). We study subvarieties of the variety of all bicommutative algebras over a field of characteristic 0. We prove that if the subvariety satisfies a polynomial identity of degree k, then its codimension sequence is bounded by a polynomial of degree k-1. Since the exponent of the variety of all bicommutative algebras is equal to 2, this gives that it is minimal with respect to the codimension growth. Up to isomorphism there are three one-generated two-dimensional bicommutative algebras with one-dimensional square which are nonassociative. We present bases of their polynomial identities and show that one of these algebras generates the whole variety of bicommutative algebras.

研究の動機と目的

• 特性 0 の体上の双可換代数の多様体 $\mathfrak{B}$ 内の部分多様体における余次元成長を分析すること。
• 多項式的恒等式を満たす部分多様体 $\mathfrak{V} \subset \mathfrak{B}$ に対して、余次元列 $c_n(\mathfrak{V})$ の漸近的挙動を特定すること。
• 次元 $A^2 = 1$ を満たす 2 次元非可換双可換代数を分類し、どの代数が全多様体 $\mathfrak{B}$ を生成するかを特定すること。
• 多様体 $\mathfrak{B}$ が余次元成長に関して最小であること、指数が 2 であること、および指数 2 をもつ真の部分多様体が存在しないことを確立すること。

提案手法

• 本稿は、可算ランクの自由双可換代数 $F(\mathfrak{B})$ を、多項式的恒等式を分析する基盤として用いる。
• 恒等式の複雑さの尺度として余次元列 $c_n(\mathfrak{V})$ を用い、指数 $\exp(\mathfrak{V}) = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{c_n(\mathfrak{V})}$ を定義する。
• 定義される恒等式の次数 $k$ に対して $c_n(\mathfrak{V})$ の上界を導出し、それが次数 $k-1$ の多項式で有界であることを示す。
• 生成元が 1 個の 2 次元双可換代数 $A_{0,1}, A_{1,0}, A_{1,-1}$ の構造を、その乗法規則を用いて分析し、一般の元に対して恒等式を評価することで、恒等式の満たし方をテストする。
• 線形代数的アプローチを用い、有限次元代数の余次元を $A^k$ と $\dim(A)^n$ の次元を用いて有界化し、不等式 $c_n(A) \leq \dim(A^k) \cdot \dim^n(A)$ を得る。
• 代数 $A_{1,-1}$ が全多様体 $\mathfrak{B}$ を生成することの証明は、1 変数で非自明な恒等式を満たさないことを示すことで行われ、これにより全多様体が生成されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双可換代数の多様体 $\mathfrak{B}$ の真の部分多様体 $\mathfrak{V}$ に対して、余次元成長が取りうる最大値は何か？
• RQ2 $\mathfrak{B}$ は 1 次元自由代数によって生成可能か、それともより高いランクが必要か？
• RQ3 次元 $A^2 = 1$ を満たす 2 次元双可換代数の中で、どの代数が全多様体 $\mathfrak{B}$ を生成するか？
• RQ4 多項式的恒等式の次数と、$\mathfrak{B}$ の部分多様体における余次元列の成長率との関係は何か？
• RQ5 $A_{0,1}$ と $A_{1,0}$ は、クラス 3 の左および右可換性の恒等式以外に、他の恒等式を満たすか？

主な発見

• 任意の多項式的恒等式を満たす部分多様体 $\mathfrak{V} \subset \mathfrak{B}$ に対して、余次元列 $c_n(\mathfrak{V})$ は $n$ の多項式で、次数 $k-1$ で有界である。
• すべての双可換代数の多様体 $\mathfrak{B}$ の余次元列は $n \geq 2$ に対して $c_n(\mathfrak{B}) = 2^n - 2$ であり、$\exp(\mathfrak{B}) = 2$ である。
• 多様体 $\mathfrak{B}$ は余次元成長に関して最小であり、任意の真の部分多様体 $\mathfrak{V}$ に対して $\exp(\mathfrak{V}) \leq 1$ である。
• 乗法規則 $rr^2 = r^2$, $r^2r = -r^2$, $r^2r^2 = -r^2$ で定義される代数 $A_{1,-1}$ は、全多様体 $\mathfrak{B}$ を生成する。
• $A_{0,1}$ と $A_{1,0}$ は、それぞれ恒等式 $x_1(x_2x_3) = 0$ と $(x_1x_2)x_3 = 0$ によって定義される部分多様体を生成し、これは左および右可換性のクラス 3 を表す。
• $A_{1,-1}$ の余次元は $c_n(A_{1,-1}) = 2^n - 2$ を満たし、これは $c_n(\mathfrak{B})$ と一致する。これにより、$A_{1,-1}$ が全多様体を生成することが確認される。