[論文レビュー] Various congruences involving binomial coefficients and higher-order Catalan numbers

Zhi‐Wei Sun|ArXiv.org|Sep 21, 2009

Advanced Mathematical Identities参考文献 11被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、重み付き二項係数の和および高階のカタラン数に関する新しい合同式を素数のべき乗を法として確立する。特に、$\Sigma_{k=0}^{p^a-1} \binom{3k}{k}/m^k$ および $\sum_{k=0}^{p^a-1} C_k^{(3)}/5^k$ を $p$ を法として扱う。三階および四階の線形漸化式、立方剰余、ヤコビ記号を用いて、レジェンドル記号および漸化列を含む正確な評価式を導出する。これは、$p$ を法とする一般化カタラン数および二項係数の和に関する先行研究を拡張する。主な結果は、$\sum C_k^{(3)}/5^k \equiv 1 \pmod{p}$ および $\sum \bar{C}_k^{(3)}/5^k \equiv 3 \pmod{p}$ の閉形式表現であり、$\left(\frac{-2}{p^a}\right)$ に依存する明示的公式を含む。

ABSTRACT

Let $p$ be a prime and let $a$ be a positive integer. In this paper we investigate $\sum_{k=0}^{p^a-1}\binom[(h+1)k,k+d]/m^k$ modulo a prime $p$, where $d$ and $m$ are integers with $-h

研究の動機と目的

• 二項係数およびカタラン数の和に関する既知の合同式を、特に $\\sum \\binom{3k}{k}/m^k$ および $\\sum C_k^{(3)}/5^k$ を $p^a$ を法として、素数のべきを法として拡張すること。
• 三階および四階の線形漸化列および立方剰余の性質を用いて、このような和の正確な評価を導出すること。
• チョウ、パーン、ソン、ソン＝トゥラソによる、$\binom{3k}{k}$、$C_k^{(2)}$、$\binom{4k}{k}$ を含む和に関する $p$ を法とした先行結果を一般化すること。
• ヤコビ記号、漸化列、および3次一般化カタラン数の構造との間の関係を確立すること。

提案手法

• 本稿は、$(1+x)^3 - mx^2$ および $(1+x)^4 - (4^4/3^3)x^3$ に関連する特性多項式によって定義される三階および四階の線形漸化列 $u_n$ および $v_n$ を用いる。
• 和の構造を $p$ を法として分析するために、立方剰余および立方ヤコビ記号 $\left(\frac{\cdot}{n}\right)_3$ の理論を用いる。
• 和 $\sum_{k=0}^{p^a-1} \binom{3k}{k+d}/m^k$ を、$p$ を法とする恒等式を用いて漸化列 $u_n$ および $v_n$ で表現する。
• フェルマーの小定理およびルーカス数列の性質を用いて、指数を $p^a$ を法として簡約する。特に、$u_{n-p^a} \equiv \text{rational function of } u_n, u_{n+1} \pmod{p}$ を用いる。
• 立方および四次多項式の判別式を用いて、可約性を分析し、スティッケルベルガーの定理を適用してレジェンドル記号の値を決定する。
• 生成関数および対称多項式の恒等式を用いて、主要な恒等式を導出する。特に、$\sum \binom{4k}{k}/5^k$ および $\sum \bar{C}_k^{(3)}/5^k$ を漸化列項の線形結合に関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 奇素数 $p$ および正の整数 $a$ に対して、$\sum_{k=0}^{p^a-1} \frac{\binom{3k}{k}}{5^k} \pmod{p}$ の値は何か？
• RQ2 重み $1/5^k$ を持つ高階カタラン数 $C_k^{(3)}$ および $\bar{C}_k^{(3)}$ を含む和は、$p$ を法としてどのように振る舞うか？
• RQ3 和 $\sum_{k=0}^{p^a-1} \frac{\binom{4k}{k}}{5^k}$ は、$p$ を法として漸化列で表現可能か？
• RQ4 レジェンドル記号 $\left(\frac{-2}{p^a}\right)$ は、$\sum \binom{4k}{k}/5^k$ の $p$ を法とした合同類を決定する上で果たす役割は何か？
• RQ5 $p^a \equiv 1 \pmod{6}$ のとき、和 $\sum_{k=1}^{p^a-1} \frac{\binom{3k}{k}}{6^k(k+1)} \equiv 0 \pmod{p}$ が成り立つ条件は何か？

主な発見

• 漸化式の簡約およびヤコビ記号の分析を用いて、$\sum_{k=0}^{p^a-1} \frac{C_k^{(3)}}{5^k} \equiv 1 \pmod{p}$ が確立され、ここで $C_k^{(3)} = \frac{1}{4}\binom{4k}{k} - 3\binom{4k}{k-1}$ である。
• 対称的な漸化列の組み合わせを用いて、$\sum_{k=0}^{p^a-1} \frac{\bar{C}_k^{(3)}}{5^k} \equiv 3 \pmod{p}$ が導出され、ここで $\bar{C}_k^{(3)} = 3\binom{4k}{k} - \binom{4k}{k+1}$ である。
• $m=5$ のとき、和 $\sum_{k=0}^{p^a-1} \frac{\binom{4k}{k}}{5^k} \equiv \frac{44 + \left(\frac{-2}{p^a}\right)}{288} \pmod{p}$ が成り立ち、その値はレジェンドル記号 $\left(\frac{-2}{p^a}\right)$ に依存する。
• 四階漸化式および指数のモジュラ簡約を用いて、和 $\sum_{k=0}^{p^a-1} \frac{3^{3k}}{4^{4k}} \binom{4k}{k} \equiv \frac{44 + \left(\frac{-2}{p^a}\right)}{288} \pmod{p}$ が導出される。
• 漸化列項の線形結合を用いて、和 $\sum_{k=0}^{p^a-1} \frac{3^{3k}}{4^{4k}} \binom{4k}{k-1} \equiv -\frac{220 + 23\left(\frac{-2}{p^a}\right)}{864} \pmod{p}$ が得られる。
• $p>3$ および $p^a \equiv 1 \pmod{6}$ のとき、和 $\sum_{k=1}^{p^a-1} \frac{\binom{3k}{k}}{6^k(k+1)} \equiv 0 \pmod{p}$ および $\sum_{k=1}^{p^a-1} \frac{\binom{3k}{k-1}}{6^k} \equiv 0 \pmod{p}$ が、可約性およびスティッケルベルガーの定理を用いて証明される。