[論文レビュー] Various notions of best approximation property in spaces of Bochner integrable functions

Tanmoy Paul|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2016

Advanced Banach Space Theory被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、バナッハ空間 $X$ の分離可能な近似可能部分空間 $Y$ に対して、$1 \leq p < \infty$ の場合、$L^p(I, Y)$ が $L^p(I, X)$ 内で $Y$ の強い近似可能性および球近似可能性を引き継ぐことを確立している。$p = \infty$ の場合、一様近似可能性が必要となる。主な貢献は、一様近似可能性を $1\frac{1}{2}$-球性質を用いた特徴づけであり、これはボッハナー空間へと拡張され、M-イデアルの単位球および 3.2.I.P. を持つ空間に属する新たな一様近似可能集合のクラスを特定する。

ABSTRACT

We derive that for a separable proximinal subspace $Y$ of $X$, $Y$ is strongly proximinal (strongly ball proximinal) if and only if for $1\leq p< \infty$, $L_p(I,Y)$ is strongly proximinal (strongly ball proximinal) in $L_p(I,X)$. Case for $p=\infty$ follows from stronger assumption on $Y$ in $X$ (uniform proximinality). It is observed that for a separable proximinal subspace $Y$ in $X$, $Y$ is ball proximinal in $X$ if and only if $L_p(I,Y)$ is ball proximinal in $L_p(I,X)$ for $1\leq p\leq\infty$. Our observations also include the fact that for any (strongly) proximinal subspace $Y$ of $X$, if every separable subspace of $Y$ is ball (strongly) proximinal in $X$ then $L_p(I,Y)$ is ball (strongly) proximinal in $L_p(I,X)$ for $1\leq p<\infty$. We introduce the notion of uniform proximinality of a closed convex set in a Banach space, which is wrongly defined in \cite{LZ}. Several examples are given having this property, viz. any $U$-subspace of a Banach space, closed unit ball $B_X$ of a space with $3.2.I.P$, closed unit ball of any M-ideal of a space with $3.2.I.P.$ are uniformly proximinal. A new class of examples are given having this property.

研究の動機と目的

• 部分空間 $Y$ からの強い近似可能性および球近似可能性がボッハナー空間 $L^p(I, Y)$ にどのように引き継がれるかを調査すること。
• バナッハ空間における一様近似可能性の定義を明確化および是正すること。
• 特に閉単位球および 3.2.I.P. を持つ空間の M-イデアルにおける新たな一様近似可能集合のクラスを同定すること。
• $L^p(I, Y)$ が $L^p(I, X)$ 内で強く近似可能または球近似可能であるための必要十分条件を確立すること。

提案手法

• 近似可能性およびその強化を定義するために、距離関数 $d(x, C)$ および射影 $P_C(x)$ を用いる。
• $1\frac{1}{2}$-球性質を用いて、$X$ 内の $B_Y$ の強い球近似可能性を特徴づけ、ヨストの概念を一般化する。
• 区間 $I = [0,1]$ およびルベーグ測度を用いたボッハナー $L^p$-空間の構造を応用し、近似性質の安定性を分析する。
• 3.2.I.P.（三球交差性質）を用いて、$X$ がこの性質を持つ場合に $B_X$ が一様近似可能であることを証明する。
• 距離公式および集合論的特徴づけ（例：$P_{B_Y}(x, \delta) = P_{B_Y}(x)_\delta \cap B_Y$）を用いて、条件の同値性を証明する。
• 反例（例 3.9 など）を構成することで、$B_Y$ の強い近似可能性が $L^\infty(I, Y)$ の強い近似可能性を示さないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $1 \leq p < \infty$ の場合、$X$ 内の部分空間 $Y$ の強い近似可能性が、$L^p(I, Y)$ が $L^p(I, X)$ 内で強い近似可能であることを示す条件は何か？
• RQ2 $1\frac{1}{2}$-球性質を用いて、$X$ 内の $B_Y$ の一様近似可能性を特徴づけられるか？
• RQ3 バナッハ空間 $X$ が 3.2.I.P. を持つと、$B_X$ が一様近似可能であると示せるか？
• RQ4 $p = \infty$ の場合、$L^p$-空間構成は球近似可能性に関して安定か？
• RQ5 一様凸空間を超える新たな一様近似可能集合のクラスは何か？

主な発見

• $1 \leq p < \infty$ の場合、$X$ の分離可能な近似可能部分空間 $Y$ は、$L^p(I, Y)$ が $L^p(I, X)$ 内で強く近似可能（それぞれ強く球近似可能）であるための必要十分条件である。
• $1 \leq p \leq \infty$ の場合、$Y$ が $X$ 内で球近似可能であることは、$L^p(I, Y)$ が $L^p(I, X)$ 内で球近似可能であるための必要十分条件である。
• $X$ 内の $B_Y$ の $1\frac{1}{2}$-球性質は、すべての $x \in X$ および $\delta > 0$ に対して $P_{B_Y}(x, \delta) = P_{B_Y}(x)_\delta \cap B_Y$ と同値であり、強い球近似可能性を示唆する。
• もし $X$ が 3.2.I.P. を持つならば、$B_X$ は一様近似可能であり、したがって $L^1(I, X)$ および $L^\infty(I, X)$ は $1\frac{1}{2}$-球性質を引き継ぐ。
• もし $Y$ がバナッハ空間 $X$ の M-イデアルであり、$X$ が 3.2.I.P. を持つならば、$B_Y$ は $X$ 内で一様近似可能であり、$L^1(I, Y)$ および $L^\infty(I, Y)$ はこの性質を引き継ぐ。
• バナッハ空間 $X$ の閉単位球 $B_X$ が一様近似可能であることは、$B_{L^1(I,X)}$ および $B_{L^\infty(I,X)}$ が一様近似可能であるための必要十分条件である。これはコロナリー 6.8 によって示されている。