[論文レビュー] "Varopoulos paradigm": Mackey property vs. metrizability in topological groups

Lydia Außenhofer, Daniel de la Barrera Mayoral+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2016

Advanced Topology and Set Theory参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、アーベル群が、すべての距離化可能な局所擬凸位相がマッケイ位相であるというバロポロスの原理を満たすための必要十分条件が、群が有限指数をもつこと（つまり、有界であること）であることを確立している。著者らは、双対理論と特性群の解析を用いて、有界でないアーベル群には、距離化可能な局所擬凸位相がマッケイでないことを証明しており、すべての有界でない場合に非マッケイ位相が存在することを示している。

ABSTRACT

The class of all locally quasi-convex (lqc) abelian groups contains all locally convex vector spaces (lcs) considered as topological groups. Therefore it is natural to extend classical properties of locally convex spaces to this larger class of abelian topological groups. In the present paper we consider the following well known property of lcs: "A metrizable locally convex space carries its Mackey topology ". This claim cannot be extended to lqc-groups in the natural way, as we have recently proved with other coauthors (\cite{AD}, \cite{DMPT}). We say that an abelian group $G$ satisfies the \emph{Varopoulos paradigm} (VP) if any metrizable locally quasi-convex topology on $G$ is the Mackey topology. Surprisingly VP - which is a topological property of the group - is characterizes an algebraic feature, namely being of finite exponent.

研究の動機と目的

• アーベル群上の距離化可能な局所擬凸位相がマッケイ位相であるための代数的条件を同定すること。
• 局所凸空間における古典的結果（距離化可能な空間はそのマッケイ位相を備える）が、より広いクラスの局所擬凸アーベル群にまで拡張可能かどうかを調査すること。
• すべての距離化可能な局所擬凸位相がマッケイであるようなアーベル群のクラスを特徴づけ、これが有限指数（有界）群のクラスであることを特定すること。
• 局所擬凸アーベル群の文脈においてマッケイ問題を解決し、互換性のある位相の上界が存在することと有界性が同値であることを示すこと。

提案手法

• アーベル位相群における双対理論の使用、特に特性群 $G^\wedge = \text{Hom}(G, \mathbb{T})$ の利用。
• 局所擬凸位相の概念とその双対群との整合性の応用。
• 主成分への直接和分解を用いた、有界でないアーベル群への非マッケイ距離化可能な位相の構成。
• $\mathbb{Q}$, $\mathbb{Z}(p^\infty)$, および $\bigoplus_{n} \mathbb{Z}_{p^n}$ などの部分群における非マッケイ位相の既知の結果の活用。
• 群が有界であることとすべての元が有限位数をもつことは同値であり、有界性が上位の互換性のある位相の存在を意味することの利用。
• 簡約でねじれのある群の場合の背理法による証明：基本部分群が有界であると仮定すると、商群の構造と矛盾が生じる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所凸空間における古典的マッケイ性質は、距離化可能な局所擬凸アーベル群へと拡張可能か？
• RQ2 アーベル群にどのような代数的条件を課すと、すべての距離化可能な局所擬凸位相がマッケイになるか？
• RQ3 有界でないアーベル群上に非マッケイ距離化可能な位相を構成可能か？
• RQ4 局所擬凸群のクラスにおいて、上位の互換性のある位相（すなわちマッケイ位相）の存在が有界性と同値か？
• RQ5 特性群 $G^\wedge$ の構造は、アーベル位相群におけるマッケイ性質とどのように関係するか？

主な発見

• アーベル群がバロポロスの原理（すべての距離化可能な局所擬凸位相がマッケイである）を満たすための必要十分条件は、群が有界であること（すなわち、有限指数であること）である。
• 有界でないアーベル群に対しては、常にマッケイでない距離化可能な局所擬凸位相が存在する。これは、$\mathbb{Q}$, $\mathbb{Z}(p^\infty)$, または $\bigoplus_{i} \mathbb{Z}_{p^{n_i}}$ への部分群埋め込みによって示された。
• $\bigoplus_{\omega} \mathbb{Z}_{m_n}$ 上の距離化可能な局所擬凸位相 $\tau_{\mathbf{c}}$ の特性群は $\bigoplus_{\omega} \mathbb{Z}_{m_n}^\wedge$ に同型であり、これが特定の特性が双対に属さないことを示し、非マッケイ性を示すために用いられた。
• 証明は、$\chi(x) \notin \mathbb{T}_+$ となるような特性 $\chi$ を構成することに依拠しており、これは $x$ が 0 の近傍に属することと矛盾し、したがって $\chi \notin (G, \tau_{\mathbf{c}})^\wedge$ であることを示している。
• 有限個の非自明な主成分をもつ簡約でねじれのある群の場合、基本部分群が有界でないことは、非マッケイ距離化可能な位相の存在を意味する。
• すべての距離化可能な局所擬凸位相がマッケイであるというマッケイ性質と有界性の同値性は、定理Aとして確立され、順方向は定理Cで、逆方向は定理Bで証明された。