[論文レビュー] $(\\varphi,\\Gamma)$-modules de de Rham et fonctions $L$ $p$-adiques

Joaquín Rodrigues Jacinto|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 32被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、コールマンとペリン＝ルイの手法の変種を開発し、整合的なグローバル要因の系統を用いて、de Rham ガロア表現に対する p-進 L 関数を構成する。p-進重み空間の開部分集合上で、大導子の局所代数的特徴の包含を含む解析的 p-進 L 関数を確立し、次元 2 における関数方程式を証明する。これにより、加法的悪い還元をもつ楕円曲線および p で超臨戦的なモジュラー形式への構成を拡張する。

ABSTRACT

Nous étudions, dans cette thèse, la construction des fonctions L p-adiques des motifs
 sur Q et, plus particulièrement, des formes modulaires.
 Dans les premiers trois chapitres on étend des constructions de Perrin-Riou pour
 construire, pour une représentation p-adique de de Rham V du groupe de Galois absolu
 GQp de Qp (ou, plus généralement, un (ϕ, Γ)-module de de Rham sur l’anneau de Robba)
 et un système compatible d’éléments globaux, une fonction L p-adique. On montre, en
 utilisant des lois de réciprocité montrées par Perrin-Riou, Colmez, Cherbonnier-Colmez,
 Berger et Nakamura, que ces fonctions interpolent des valeurs arithmétiques intéressantes
 aux caractères localement algébriques.
 Dans les derniers trois chapitres, on se spécialise au cas de dimension 2. On démontre,
 en s’inspirant des techniques de Nakamura et des nouvelles techniques de changement
 de poids de Colmez introduites pour l’étude des vecteurs localement algébriques dans la
 correspondance de Langlands p-adique pour GL2(Qp), une équation fonctionnelle pour
 notre fonction L p-adique. Comme une application de cette équation fonctionnelle, on
 fournit les argument manquants dans les travaux de Nakamura complétant la preuve de la
 conjecture ε locale de Kato pour les représentations de dimension 2. Pour le motif associé
 à une forme modulaire, on utilise tous ces résultats pour interpréter les valeurs interpolées
 par la fonction L p-adique en termes des valeurs spéciales de la fonction L complexe de
 cette forme. // This thesis studies the construction of p-adic L-functions associated to motives over Q
 and, in particular, to modular forms.
 In the first three chapters we generalize some constructions of Perrin-Riou in order to
 construct, for any p-adic de Rham representation V of the absolute Galois group GQp of Qp
 (or, more generally, any de Rham (ϕ, Γ)-module over the Robba ring) and any compatible
 system of global elements, a p-adic L-function. We show, by the use of some reciprocity
 laws proved by Perrin-Riou, Colmez, Cherbonnier-Colmez, Berger and Nakamura, that
 these functions interpolate interesting arithmetic values at locally algebraic characters.
 The last three chapters deal with the particular case of dimension 2. We show, inspired
 by some techniques of Nakamura and certain weight change techniques introduced by
 Colmez for the study of locally algebraic vectors in the p-adic Langlads correspondence for
 GL2(Qp), that our p-adic L-function satisfies a functional equation. As an application of our
 functional equation, we fulfil the missing arguments in the work of Nakamura, providing
 a complete proof of Kato’s local ε-conjecture for 2-dimensional representations. For the
 motive associated to a modular form, we use these results to interpret the interpolated
 values of the p-adic L-function in terms of special values of the complex L-function of the
 form.

研究の動機と目的

• 半安定またはクリスタリンな場合を超えて、加法的悪い還元をもつ de Rham 表現に対し p-進 L 関数を構成すること。
• コールマンとペリン＝ルイの手法を、非半安定表現に対し、整合的なグローバル要因の系統に適応させること。
• p-進重み空間の開集合上で、大導子の特徴を含む解析的 p-進 L 関数を定義すること。
• 2次元表現の場合の p-進 L 関数に対して関数方程式を確立すること。
• カトウのオイラー系を応用し、加法的還元をもつ楕円曲線および p で超臨戦的なモジュラー形式に対し p-進 L 関数を構成すること。

提案手法

• de Rham ガロア表現に関連する (ϕ, Γ)-加群を用い、そのホッジ＝テイト構造および de Rham 構造を分析する。
• 過収束 (ϕ, Γ)-加群の理論およびモノドロミー定理を適用し、収束性およびコホモロジー的性質を制御する。
• フォンテーヌの環の枠組みにおいて、p-進周期および指数写像の補間を通じて局所的 p-進 L 関数を構成する。
• ペリン＝ルイの指数写像およびその双対を用い、重みを渡る L 関数の特別値を補間する。
• ロッパ環およびイwasawa コホモロジーを用い、グローバルなオイラー系の要素と p-進 L 関数を関連付ける。
• シントミックおよび de Rham コホモロジーの理論を用い、p-進 L 値とシントミックレギュレーターおよび特別値を関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 加法的還元をもつ de Rham 表現に対し、p-進 L 関数を構成できるか、特に半安定でない場合に。
• RQ2 コールマンとペリン＝ルイの手法を、非半安定の場合の整合的グローバル要因の系統に適応できるか。
• RQ3 構成された p-進 L 関数の p-進重み空間における解析的定義域は何か。
• RQ4 2次元の場合に、p-進 L 関数に対して関数方程式が成り立つか。
• RQ5 カトウのオイラー系を用いて、p で超臨戦的なモジュラー形式に対し p-進 L 関数を構成できるか。

主な発見

• 本稿は、すべての十分に大きな導子の局所代数的特徴を含む p-進重み空間の開部分集合上で、解析的関数として p-進 L 関数を構成する。
• 構成法は、加法的悪い還元をもつ楕円曲線に適用可能であり、半安定でない場合への p-進 L 関数理論の拡張を実現する。
• p で超臨戦的なモジュラー形式に対し、本手法はカトウのオイラー系を介して p-進 L 関数を導く。
• 2次元の場合、構成された p-進 L 関数は関数方程式を満たし、L 関数の古典的関数方程式を一般化する。
• 本手法は、(ϕ, Γ)-加群およびフォンテーヌの環の文脈における p-進周期および指数写像の精密な補間に依存する。
• 結果は、過収束 (ϕ, Γ)-加群の理論の拡張およびイwasawa コホモロジーを用いたグローバルなオイラー系の要素と p-進 L 値の関連付けにより達成される。