[論文レビュー] Vector analysis for Dirichlet forms and quasilinear PDE and SPDE on metric measure spaces

Michael Hinz, Michael Röckner+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2012

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 32被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、測度付き距離空間に定義された正則ディリクレ形式に対して、ベクトル解析の枠組みを構築し、$L_p$-空間におけるベクトル場および1形式のヒルベルト空間$\mathcal{H}$の直接積分表現を用いてソボレフ空間を定義する。単調性および固定点法を用いて、非線形楕円型偏微分方程式（PDE）および確率的偏微分方程式（SPDE）—例えば確率的$p$-ラプラシアン方程式—の解の存在および一意性を確立する。特に、シERPinskiカーペットのようなフラクタル空間への応用を含む。

ABSTRACT

Starting with a regular symmetric Dirichlet form on a locally compact separable metric space $X$, our paper studies elements of vector analysis, $L_p$-spaces of vector fields and related Sobolev spaces. These tools are then employed to obtain existence and uniqueness results for some quasilinear elliptic PDE and SPDE in variational form on $X$ by standard methods. For many of our results locality is not assumed, but most interesting applications involve local regular Dirichlet forms on fractal spaces such as nested fractals and Sierpinski carpets.

研究の動機と目的

• 一般の測度付き距離空間に、特に滑らかでないあるいはフラクタルな設定を含めて、ベクトル解析を拡張すること。
• ファイバー$\mathcal{H}_x$上の直接積分構造を介して、ベクトル場の$L_p$-空間および関数・ベクトル場のソボレフ空間を定義すること。
• 単調性および固定点法を用いて、変分的形での非線形楕円型PDEおよびSPDEの解の存在および一意性を確立すること。
• 加法的関数およびレヴュツ・測度を通じて、1形式のヒルベルト空間$\mathcal{H}$の確率的解釈を提供すること。
• 重み付きエネルギー測度および摂動技法を導入することで、ディリクレ形式の文脈における非発散型作用素の一般化を行うこと。

提案手法

• 滑らかな設定における$L_2$-微分1形式の一般化として、テンソル積およびエネルギーノルムを用いて1形式のヒルベルト空間$\mathcal{H}$を構成する。
• 測度空間$(\mathcal{H}_x)_{x\in X}$の可測場として$\mathcal{H}$の直接積分表現を導入し、$p \in [1,\infty)$に対してベクトル場の$L_p$-空間を定義可能にする。
• $\mathcal{H}$上での勾配および発散作用素を定義し、発散作用素を符号付きレヴュツ測度$\mu_{\Gamma(M)}$との積分として解釈する。
• 特異なエネルギー測度を扱うために、重み付きエネルギー測度およびエネルギー優勢測度（例：Kusuoka測度）を用いる。
• 摂動理論を用いて、漂流項およびポテンシャル項を含む閉な双線形形式$\mathcal{Q}(f,g)$を構成し、非発散型作用素を一般化する。
• 随伴作用素$\partial^*\omega$を、$m$に関して絶対連続な測度として表現し、密度として$\partial^*\omega(x) = (\partial^*\hat{b})(x)u(x) + \langle \hat{b}_x, \partial_x u \rangle_{\mathcal{H}_x}$を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則ディリクレ形式を備えた測度付き距離空間において、特に滑らかでないあるいはフラクタルな空間の場合に、どのようにして体系的なベクトル解析を展開できるか。
• RQ2 非局所的ディリクレ形式の文脈において、ベクトル場の$L_p$-空間および関数・ベクトル場のソボレフ空間の適切な類似物は何か。
• RQ3 この抽象的枠組みにおいて、単調性および固定点法を用いて、変分的形での非線形楕円型PDEおよびSPDEの解の存在および一意性を確立できるか。
• RQ4 レヴュツ測度および加法的関数を用いた確率的解釈を通じて、外微分作用素の随伴$\partial^*$はどのように確率的に表現できるか。
• RQ5 この文脈における非発散型作用素の一般化は何か。また、ディリクレ形式の摂動とどのように関係しているか。

主な発見

• エネルギーノルムおよびテンソル積を用いて構成された1形式のヒルベルト空間$\mathcal{H}$は、古典的な滑らかなリーマン多様体設定における$L_2$-微分1形式の空間と一致する。
• $\mathcal{H}$の直接積分表現により、すべての$p \in [1,\infty)$に対してベクトル場の$L_p$-空間を定義可能であり、$\mathcal{H}$は$p=2$に対応する。
• $\omega = \Theta^{-1}(M) \in \mathcal{H}$に対して、随伴$\partial^*\omega$は符号付きレヴュツ測度$\mu_{\Gamma(M)}$との積分として表現され、$\omega \in \text{dom}\,\partial^*$ならば、$\mu_{\Gamma(M)}$は$\mu$に関して絶対連続であり、密度として$\partial^*\omega \in L_2(X,\mu)$を満たす。
• 漂流項$b, \hat{b} \in \mathcal{H}_\infty$およびポテンシャル$c \in L_\infty(X,m)$を含む双線形形式$\mathcal{Q}(f,g)$は、$L_2(X,m)$上で閉であり、$\alpha > 0$が十分に大きいとき、関連する半群は正値性を保つ。
• $\mathcal{Q}_\alpha$の生成作用素$L^\mathcal{Q}$は、$m$-ほとんど everywhereの$x$に対して、$L^\mathcal{Q}u(x) = L^{(m)}u(x) + \langle b_x, \partial_x u \rangle_{\mathcal{H}_x} - \partial^*(u\hat{b})(x) + c(x)u(x)$を満たし、非発散型作用素を一般化する。
• 加法的関数およびレヴュツ測度による$\mathcal{H}$の確率的解釈は、特に$\partial^*\omega(h) = \int_X h \, d\mu_{\Gamma(M)}$という表現を通じて、確率的積分計算およびディリクレ形式の摂動理論と結びつく。