[論文レビュー] Vector bundles and p-adic representations I

Christopher Deninger, Annette Werner|ArXiv.org|Sep 17, 2003

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、p進曲線 $X_{\mathbb{C}_p}$ 上の特別なベクトル束の圏と、代数的基本群 $\pi_1(\overline{X}, \overline{x})$ の連続なp進表現との間でファンクター的な対応を確立する。主な結果は、このファンクター $\rho$ が正確で、テンソル構造と整合的であり、ホッジ–テイト分解を介して関連するホッジ–テイト写像を同定することである。p進ホッジ理論を用いて、古典的結果を高ランクの束へと拡張する。

ABSTRACT

We define and study a certain category of vector bundles on a p-adic curve to which we can associate in a functorial way finite dimensional p-adic representations of the geometric fundamental group. Among other things we investigate two different relations of these constructions with the Hodge-Tate decomposition.

研究の動機と目的

• p進曲線上のベクトル束の圏から、その代数的基本群の連続なp進表現へのファンクターを構成すること。
• 次数がゼロのラインバンドルに対するTateの構成を、高ランクのベクトル束へ一般化すること。
• 関連する表現ファンクターをホッジ–テイト分解を介してホッジ–テイト写像と同定すること。
• ベクトル束がそのカテゴリーに属するための必要十分条件が、すべての非分解的成分の次数がゼロであることであるかを検討すること。

提案手法

• すべての $n \geq 1$ に対して $p^n$ を法とした還元に関する条件を課すことにより、$X_{\mathbb{C}_p}$ 上のベクトル束のフル部分圏 $\mathfrak{B}_{X_{\mathbb{C}_p}}$ を定義する。
• $E$ を $\mathfrak{B}_{X_{\mathbb{C}_p}}$ に属する各バンドルとするとき、$\rho$ を、$\pi_1(\overline{X}, \overline{x})$ 上の $\mathrm{Gal}(\overline{K}/K)$-不変な $E_{\overline{x}}$ 上の連続表現に割り当てるファンクターを構成する。
• p進ホッジ理論および普遍的ベクトル的拡大の理論を用いて、表現ファンクターのリー代数をホッジ–テイト写像と同定する。
• $\rho$ がテンソル積、双対、内部Hom、外冪と可換であることを証明し、テンソル構造との整合性を保証する。
• 次数がゼロのラインバンドルに対して、表現 $\rho_L$ が、ピック多様体の $p$-可除群を介したTateの構成と一致することを示す。
• 拡張群上の写像が、ホッジ–テイト埋め込み $i_{HT}: H^1(X, \mathcal{O}) \otimes_K \mathbb{C}_p \hookrightarrow H^1_{\text{ét}}(\overline{X}, \mathbb{Q}_p) \otimes_{\mathbb{Q}_p} \mathbb{C}_p$ と一致することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ファンクター $\rho: \mathfrak{B}_{X_{\mathbb{C}_p}} \to \mathbf{Rep}_{\pi_1(\overline{X}, \overline{x})}(\mathbb{C}_p)$ は全単射的か？
• RQ2 $\rho$ の本質的像は何か？幾何学的またはコhomologically に特徴づけられるか？
• RQ3 $(E, \phi)$ が $p$-進表現を分類するような $p$-進ヒッグス場 $\phi$ を含めるように理論を拡張できるか？
• RQ4 ベクトル束が $\mathfrak{B}_{X_{\mathbb{C}_p}}$ に属するための必要十分条件は、すべての非分解的成分の次数がゼロであることか？
• RQ5 ガロア作用に関して、表現 $\rho_E$ のエタールコhomologyにガロア不変なホッジ–テイト分解が成り立つか？

主な発見

• ファンクター $\rho$ は正確であり、テンソル演算と可換であるため、$\mathfrak{B}_{X_{\mathbb{C}_p}}$ から $\pi_1(\overline{X}, \overline{x})$ の連続な $\mathbb{C}_p$-表現の圏への適切に振る舞うテンソルファンクターである。
• 次数がゼロのラインバンドル $L$ に対して、表現 $\rho_L$ は、ピック多様体の $p$-可除群を介したTateの構成と一致する。
• 拡張群上の写像 $\rho_*$ はホッジ–テイト埋め込み $i_{HT}: H^1(X, \mathcal{O}) \otimes_K \mathbb{C}_p \hookrightarrow H^1_{\text{ét}}(\overline{X}, \mathbb{Q}_p) \otimes_{\mathbb{Q}_p} \mathbb{C}_p$ と一致する。
• $\mathfrak{B}_{X_{\mathbb{C}_p}}$ に属するベクトルバンドル $E$ に対する表現 $\rho_E$ は、$G_K = \mathrm{Gal}(\overline{K}/K)$ のガロア作用と整合的である。
• 良い還元を持つ楕円曲線では、ベクトルバンドルが $\mathfrak{B}_{X_{\mathbb{C}_p}}$ に属するための必要十分条件は、そのすべての非分解的成分の次数がゼロであることである（Atiyahの分類による）。
• 本構成により、2ランクのユニポテンツベクトルバンドルを用いたホッジ–テイト写像 $i_{HT}$ の新しい明示的記述が得られる（定理26の直後における注記1を参照）。