[論文レビュー] Vector bundles on curves and generalized theta functions: recent results and open problems

Arnaud Beauville|ArXiv.org|Apr 5, 1994

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 20被引用数 75

ひとこと要約

この論文は、代数的曲線上の安定ベクトル束のモジュライ空間上の決定的ラインバンドルの全切断としての一般化されたシータ関数を検討し、ヤコビアン上の古典的シータ関数の非アーベル的類似を確立する。Picard群 $π₃(\mathcal{SU}_X(r))$ が標準的決定的ラインバンドル $π₃$ によって生成されることを証明し、$H^0(\mathcal{SU}_X(r), \mathcal{L})$ と $H^0(J^{g-1}(X), \mathcal{O}(r\Theta))^*$ の間に同型を構成することで、ベクトル束の幾何学とコンformal field theory、およびモジュラー表現の間の関係を結ぶ。

ABSTRACT

Riemann surface carries a natural line bundle, the determinant bundle. The space of sections of this line bundle (or its multiples) constitutes a natural non-abelian generalization of the spaces of theta functions on the Jacobian. There has been much progress in the last few years towards a better understanding of these spaces, including a rigorous proof of the celebrated Verlinde formula which gives their dimension. This survey paper tries to explain what is now known and what remains open.

研究の動機と目的

• モジュライ空間上の決定的ラインバンドルを用いて、ヤコビアン上の古典的シータ関数の非アーベル的類似を確立すること。
• genus $g \geq 2$ の曲線 $X$ 上のランク $r$ で決定的が自明な安定ベクトル束のモジュライ空間 $\mathcal{SU}_X(r)$ の幾何を調査すること。
• 決定的ラインバンドル $\mathcal{L}$ の全切断の空間の構造を理解すること。これは一般化されたシータ関数として解釈される。
• これらの切断とコンフォーマル場理論との関係を、特にマッピングクラス群 $\Gamma_g$ の射影的表現を通じて探求すること。

提案手法

• 曲線 $X$ 上の $\mathcal{SU}_X(r)$ 上の決定的ラインバンドル $\mathcal{L} = \mathcal{O}(\Theta_L)$ を用い、ここで $\Theta_L$ は $L \in J^{g-1}(X)$ に対して $h^0(E \otimes L) \geq 1$ を満たす $E$ の集合として定義される一般化されたシータ除数である。
• $\operatorname{Pic}(\mathcal{SU}_X(r)) = \mathbb{Z} \cdot \mathcal{L}$ を証明し、$\mathcal{L}$ がPicard群の生成元であることを示す。
• $H^0(\mathcal{SU}_X(r), \mathcal{L}) \cong H^0(J^{g-1}(X), \mathcal{O}(r\Theta))^*$ という標準的同型を確立し、切断を古典的シータ関数と結びつける。
• 有理写像 $\theta: \mathcal{SU}_X(r) \dashrightarrow |r\Theta|$ を $\theta(E) = \{ L \in J^{g-1}(X) \mid h^0(E \otimes L) \geq 1 \}$ により構成し、モジュライ空間とヤコビアンの間の関係を明らかにする。
• モジュライスタックを二重商 $SL_r(A_X) \backslash SL_r(\mathbb{C}((z))) / SL_r(\mathbb{C}[[z]])$ として記述し、$\mathcal{L}^k$ の切断をループ群上の関数として研究する。
• 群 $\pi_1(X)$ の表現を用いた $SL_r(\mathbb{C})^g$ 上への引き戻しによる代替的構成を検討し、コンフォーマル場理論における $\tau$-関数と関係づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 空間 $H^0(\mathcal{SU}_X(r), \mathcal{L})$ の構造は何か？ そしてこれはヤコビアン上の古典的シータ関数とどのように関係しているか？
• RQ2 マッピングクラス群 $\Gamma_g$ に対する表現 $\rho_{r,k}: \Gamma_g \to PGL(H^0(\mathcal{SU}_X(r), \mathcal{L}^k))$ は明示的に記述可能か？ また、$\mathrm{Sp}(2g, \mathbb{Z})$ に因数分解するか？
• RQ3 古典的シータ関数が準周期的関数としての理論を持つのと同様に、一般化されたシータ関数の関数論的記述（正則関数としての記述）は可能か？
• RQ4 射影的表現 $\rho_{r,k}$ は、コンフォーマル場理論の予測に従い、平坦なヘルミート計量を備えてユニタリになるか？
• RQ5 $\mathcal{L}^k$ の切断は、$\widetilde{SL_r(\mathbb{C}((z)))}$ のような自然な群論的空間上の正則関数として表現可能か？

主な発見

• $\mathcal{SU}_X(r)$ のPicard群は $\mathbb{Z}$ に同型であり、決定的ラインバンドル $\mathcal{L}$ によって生成される。よって $\operatorname{Pic}(\mathcal{SU}_X(r)) = \mathbb{Z} \cdot \mathcal{L}$ である。
• $H^0(\mathcal{SU}_X(r), \mathcal{L}) \cong H^0(J^{g-1}(X), \mathcal{O}(r\Theta))^*$ という標準的同型が存在し、これはレベル1の一般化されたシータ関数の空間が、$r$ 階の古典的シータ関数の空間の双対に一致することを示している。
• 有理写像 $\theta: \mathcal{SU}_X(r) \dashrightarrow |r\Theta|$ は、$h^0(E \otimes L) \geq 1$ を満たすラインバンドル $L$ の集合を $E$ に送る。この写像は一般に定義されており、有限である。
• $k=1$ のとき、マッピングクラス群 $\Gamma_g$ の表現 $\rho_{r,1}$ は、古典的シータ関数の双対空間との同型を介して記述され、古典的変換公式の一般化である。
• $\mathcal{L}$ をループ群 $\widetilde{SL_r(\mathbb{C}((z)))}$ に引き戻すと、それは自明になる。これは、一般化されたシータ関数がこの群上の関数として実現可能である可能性を示唆しているが、$k > 1$ の場合の明示的表現は未だ不明である。
• 進展は見られるが、一般化されたシータ関数を自然な定義域上の正則関数として完全に満足できる解析的または関数論的記述を得ることは、未解決の問題のままである。