[論文レビュー] Vector bundles on elliptic curve and Sklyanin algebras

Boris Feigin, A. V. Odesskiĭ|ArXiv.org|Sep 20, 1995

Advanced Topics in Algebra参考文献 1被引用数 45

ひとこと要約

本稿は、スキーイアニン代数 $Q_{n,k}({\rm E},\tau)$ と楕円曲線上のベクトル束の間に深い接続を確立し、これらの代数の古典的極限のシンプレクティック葉が、ラインバンドルの拡張のモジュライ空間によってパrameter化されることを示している。具体的には、${{\mathbb{C}}P}^{n-1} \cong {\rm Mod}(\xi_{0,1};\xi_{n,k})$ である。主な結果は、${{\mathbb{C}}P}^{n-1}$ 上のハミルトニアン構造のシンプレクティック foliation が、固定された判別式を持つ安定な $k+1$ 次元ベクトル束によるストラタに分解されることであり、これは拡張のモジュライ空間を通じて実現される。

ABSTRACT

In [4] we introduce the associative algebras $Q_{n,k}(\CE,τ)$. Recall the definition. These algebras are labeled by discrete parameters $n,k$; $n,k$ are integers $n>k>0$ and $n$ and $k$ have not common divisors. Then, $\CE$ is an elliptic curve and $τ$ is a point in $\CE$. We identify $\CE$ with $\BC/Γ$, where $Γ$ is a lattice.

研究の動機と目的

• スキーイアニン代数 $Q_{n,k}({\cal E},\tau)$ の古典的極限のシンプレクティック foliation を理解すること。
• ベクトル束を用いて $Q_{n,k}({\cal E},\tau)$ の特徴的多様体 ${\rm Ch}_{n,k}$ を記述すること。
• ${{\mathbb{C}}P}^{n-1}$ 上のハミルトニアン構造のシンプレクティック葉とラインバンドルの拡張のモジュライ空間との間に幾何的対応を確立すること。
• $sl_r$-型の場合におけるボレルおよびパラボリック束構造への一般化を図ること。

提案手法

• $n/k$ の連分数展開を用いて、楕円曲線上のベクトル束の言語で特徴的多様体 ${\rm Ch}_{n,k}$ を記述する。
• $\Delta_{i,i+1}$ という除法とシータ関数を用いて、${{\cal E}}^{(p)}$ 上のラインバンドル $\bar{\xi}$ を構成し、その後 ${{\cal E}}^{(p)}$ を ${{\mathbb{C}}P}^{n-1}$ に $\bar{\xi}$ を通じて写像する。
• ${\rm Mod}(\xi_{0,1};\xi_{n,k})$ を ${{\rm Ext}}^1(\xi_{n,k};\xi_{0,1})$ の射影化と特定し、$\xi_{0,1}$ への $\xi_{n,k}$ の拡張をパラメータ化する。
• $Q_{n,k}({\cal E},\tau)$ の古典的極限 $\tau \to 0$ を用いて、${{\mathbb{C}}P}^{n-1}$ 上にハミルトニアン構造を定義し、それが同次的であり、射影空間上に構造を誘導することを示す。
• $N_{n,k}$ を固定された判別式を持つ安定束の空間として定義し、写像 $\theta: N_{n,k} \to {\rm Mod}/{\cal E}$ を導入し、シンプレクティック葉がこの写像の纤维であることを示す。
• $sl_r$-型代数へ一般化する際、$k+1$ 次元束の旗多様体を用い、連続する商が $\xi_{n_i,1}(z_i)$ に同型となるように構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スキーイアニン代数 $Q_{n,k}({\cal E},\tau)$ の古典的極限のシンプレクティック葉は、幾何的にどのようにパラメータ化されるか？
• RQ2 楕円曲線上のベクトル束は、$Q_{n,k}({\cal E},\tau)$ の特徴的多様体 ${\rm Ch}_{n,k}$ を記述する上で果たす役割は何か？
• RQ3 ${\rm Mod}(\xi_{0,1};\xi_{n,k})$ のモジュライ空間は、${{\mathbb{C}}P}^{n-1}$ 上のハミルトニアン構造のシンプレクティック foliation とどのように関係するか？
• RQ4 $Q_{n,k}({\cal E},\tau)$ から生じる ${{\mathbb{C}}P}^{n-1}$ 上のシンプレクティック構造は、判別線束のバンドルに引き上げられるか？
• RQ5 $sl_r$-型の場合におけるパラボリックおよびボレル型束へのこの構成の一般化は何か？

主な発見

• ${{\mathbb{C}}P}^{n-1}$ 上のハミルトニアン構造のシンプレクティック葉は、${\rm Mod}(\xi_{0,1};\xi_{n,k})$ のストラタと一対一対応しており、これは ${{\mathbb{C}}P}^{n-1}$ に同型である。
• ${\rm Ch}_{n,k}$ は、シータ関数と除法 $\Delta_{i,i+1}$ から構成されたラインバンドル $\bar{\xi}$ を通じて誘導される写像 ${{\cal E}}^{(p)} \to {{\mathbb{C}}P}^{n-1}$ の像として実現される。
• ${\rm Mod}(\xi_{0,1};\xi_{n,k})$ は ${{\rm Ext}}^1(\xi_{n,k};\xi_{0,1})$ の射影化と同型であり、次元は $n-1$ である。
• スキーイアニン代数 $Q_{n,k}({\cal E},\tau)$ の古典的極限のシンプレクティック葉は、$N_{n,k}$（固定された判別式を持つ安定な $k+1$ 次元束の空間）から ${\rm Mod}/{\cal E}$ への写像 $\theta$ の纤维である。
• 有理写像 ${{\mathbb{C}}P}^{n-1} \to {\rm Mod}^{s}_{n,k}(z) \cong {{\mathbb{C}}P}^{c-1}$（$c = \gcd(n, k+1)$）は、正則写像 ${{\mathbb{C}}^n} \to {{\mathbb{C}}^c}$（次数 $n/c$）によって被覆され、この写像はターゲットに自明な構造があるときハミルトニアンである。
• $sl_r$-型の場合、$Q_{n,\Gamma}({\cal E},\tau)$ の古典的極限は、モジュライ空間 $M_{n_1,\ldots,n_{r-1}}$ 上にハミルトニアン構造を誘導し、シンプレクティック葉は ${{\mathbb{C}}^h}$ への写像の纤维として与えられる。ここで $h = \gcd(r, \sum i n_i)$ である。