[論文レビュー] Vector bundles on Symmetric product of curves

D. S. Nagaraj|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、滑らかで射影的な曲線 $C$ の対称積 $C_n$ 上のベクトル bundle を研究し、$\Delta_n \subset C_n \times C$ における普遍有効除因子を用いた構成 $\mathcal{F}_n(E)$ に注目する。$\mathcal{F}_2(L)$ が $L = \mathcal{O}_C(\pm x)$ の場合を除き $C_2$ 上で安定であることを示し、 genus $g \geq 2$ の曲線上の安定束に対して $\mathcal{F}_n(E_1) \cong \mathcal{F}_n(E_2)$ ならば $E_1 \cong E_2$ が成り立つことを証明し、曲面の Hilbert 細胞へと拡張する。

ABSTRACT

This is a survey article on recent results on vector bundles on symmetric product of non-singular projective curves.

研究の動機と目的

• 対称積上に構成されたベクトル束の安定性および単射性の性質を調査すること。
• 構成 $\mathcal{F}_n(E)$ が安定性を保ち、かつ $\mathcal{F}_n(E_1) \cong \mathcal{F}_n(E_2)$ ならば $E_1 \cong E_2$ が成り立つかどうかを特定すること。
• 曲面の Hilbert 細胞への類似構成を用いて、$\mathcal{F}_n(E)$ の結果を拡張すること。
• 安定性および単射性が常に成り立たないことを示す反例を提示し、それらが成り立つ条件を同定すること。

提案手法

• universal 有効除因子 $\Delta_n \subset C_n \times C$ の次数 $n$ に対して、$\mathcal{F}_n(E) = q_*(p_2^*E|_{\Delta_n})$ を構成する。
• 次数 $n$ の有限被覆 $q: \Delta_n \to C_n$ を用いて、$\mathcal{F}_n(E)$ がランク $n \cdot \text{rank}(E)$ のベクトル束であることを保証する。
• $x + C_{n-1}$ を正の除因子として、スロープ $\mu_H(V) = \text{degree}_H(V)/\text{rank}(V)$ を用いて安定性を解析する。
• Riemann-Roch およびコhomオロジー的技法を用いて、$p^*\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(2) \otimes q^*\mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(1)$ の切断の零点集合を通じて、$\mathbb{P}^2$ 上の $\mathcal{F}_2(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(m))$ を計算する。
• 既知の結果 [BN1], [BN2], [BP], [BN3] を用いて、genus $g \geq 2$ の下で安定束に対する $\mathcal{F}_n$ の単射性を確立する。
• 曲面の Hilbert 細胞 $\text{Hilb}_n(S)$ に同様の構成を拡張し、$\mathcal{H}_n(E)$ を $\mathcal{F}_n(E)$ と類似の方法で定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 曲線 $C$ 上のベクトル束 $E$ が安定であるとき、$C_n$ 上の $\mathcal{F}_n(E)$ も安定であるか？
• RQ2 $C_n$ 上で $\mathcal{F}_n(E_1) \cong \mathcal{F}_n(E_2)$ ならば、$C$ 上で $E_1 \cong E_2$ が成り立つか？
• RQ3 曲線 $C$ 上の線束 $L$ に対して、$\mathcal{F}_2(L)$ が何時安定か？
• RQ4 $\mathcal{F}_n(E)$ の単射性結果は、曲面などの高次元多様体へ拡張可能か？
• RQ5 Harder-Narasimhan 分解は $\mathcal{F}_n$ の単射性にどのように影響するか？

主な発見

• 任意の非自明な線束 $L$ に対して、滑らかな曲線 $C$ 上の $\mathcal{F}_2(L)$ は $C_2$ 上で半安定である。
• $L \cong \mathcal{O}_C(\pm x)$ である点 $x \in C$ を除き、$\mathcal{F}_2(L)$ は $C_2$ 上で安定である。
• $C = \mathbb{P}^1$ のとき、$\mathcal{F}_2(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(1)) \cong \mathcal{O}_{\mathbb{P}^2} \oplus \mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}$、$\mathcal{F}_2(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(-1)) \cong \mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(-1)^{\oplus 2}$、および $\mathcal{F}_2(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}) \cong \mathcal{O}_{\mathbb{P}^2} \oplus \mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(-1)$ が成り立つ。
• 非同型な束 $E$ と $F$ が $\mathbb{P}^1$ 上に存在し、例えば $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}^{\oplus 2m}$ と $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(1)^{\oplus m} \oplus \mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(-1)^{\oplus m}$ に対して $\mathcal{F}_2(E) \cong \mathcal{F}_2(F)$ が成り立つ。これは一般には単射性が成り立たないことを示している。
• genus $g \geq 2$ の曲線 $C$ 上の安定束 $E_1, E_2$ に対して、$C_n$ 上で $\mathcal{F}_n(E_1) \cong \mathcal{F}_n(E_2)$ ならば、$C$ 上で $E_1 \cong E_2$ が成り立つ。
• 結果は曲面へ拡張可能である：$\text{Hilb}_n(S)$ 上で $\mathcal{H}_n(E_1) \cong \mathcal{H}_n(E_2)$ ならば、$S$ 上で $E_1 \cong E_2$ が成り立つ。