[論文レビュー] Vector duality via conditional extension of dual pairs

Samuel Drapeau, Asgar Jamneshan+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2016

Optimization and Variational Analysis参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、Banach空間 $ X $ と拡張実数値可測関数の空間 $ \overline{L^0} $ を定義域とするproperな凸関数 $ f: X \to \overline{L^0} $ に対して、Fenchel-Moreau型双対性を確立する。双対ペア $ (X,Y,\langle\cdot,\cdot\rangle) $ をBochner空間 $ L^0(X) \times L^0(Y) $ に条件付きに拡張することにより、関数 $ f $ の下半連続性が、$ f(x) = \operatorname{ess\,sup}_{y \in L^0(Y)} \{ \langle x,y \rangle - f^*(y) \} $ という双対表現と同値であることを証明する。これは、条件付き集合論とBochner空間への拡張を通じて、スカラー化手法が機能しないベクトル値設定への古典的双対性の一般化を実現する。

ABSTRACT

A Fenchel-Moreau type duality for proper convex and lower semi-continuous functions $f\colon X o \overline{L^0}$ is established where $(X,Y,\langle \cdot,\cdot angle)$ is a dual pair of Banach spaces and $\overline{L^0}$ is the set of all extended real-valued measurable functions. We provide a concept of lower semi-continuity which is shown to be equivalent to the existence of a dual representation in terms of elements in the Bochner space $L^0(Y)$. To derive the duality result, several conditional completions and extensions are constructed. This is an earlier version of arXiv e-print 1708.03127, where the main results were formulated in an abstract setting of conditional completions, conditional extensions and conditional real numbers.

研究の動機と目的

• Banach空間 $ X $ と拡張実数値可測関数の空間 $ \overline{L^0} $ を定義域とする関数 $ f: X \to \overline{L^0} $ に対して、Fenchel-Moreau型双対性を確立すること。
• 関数 $ f $ の下半連続性の概念を定義し、それが $ L^0(Y) $、すなわち $ Y $-値可測関数のBochner空間に属する要素を用いた双対表現の存在と同値であることを保証すること。
• Banach空間の双対ペアに条件付き拡張フレームワークを構築し、元の設定における条件付きFenchel-Moreau双対性の応用を可能にすること。
• 標準的なスカラー化手法が $ \operatorname{int}(L^0_+) = \emptyset $ および $ (L^0)^* = \{0\} $ のために失敗するような、ベクトル値およびモジュールベースの設定への古典的双対性結果の一般化。

提案手法

• Banach空間 $ X $ および $ Y $ の条件付き完備化を構成し、それぞれがBochner空間 $ L^0(X) $ および $ L^0(Y) $ に等長同型であることを証明する。
• $ X \times Y $ 上の双対ペアリング $ \langle \cdot, \cdot \rangle $ を、単純関数のほとんど everywhere での極限によって定義される条件付き双対ペアリングとして、$ L^0(X) \times L^0(Y) $ 上に拡張する。
• $ X $ から $ L^0(X) $ への、$ \overline{L^0} $ に値をとる関数 $ f $ の条件付き下半連続拡張 $ f_c $ を、空間の条件付き構造を用いて定義する。
• 条件付き集合論の文脈で、条件付きFenchel-Moreau定理の応用により、$ f_c $ の $ L^0(Y) $ に属する要素による双対表現を導出する。
• 定数要素の評価によって、条件付き双対表現を元の空間に戻す。これにより、主双対式 $ f(x) = \operatorname{ess\,sup}_{y \in L^0(Y)} \{ \langle x,y \rangle - f^*(y) \} $ を得る。
• $ L^0(X) $ および $ L^0(Y) $ における安定関数構造（ほとんど everywhere での点ごとの演算）を用い、条件付き位相およびノルムと整合性を保つようにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数 $ f: X \to \overline{L^0} $ に対して、Fenchel-Moreau型双対表現を保証する適切な下半連続性の概念は何か？
• RQ2 標準的なスカラー化が失敗する状況において、$ \overline{L^0} $ に値をとるベクトル値関数への古典的Fenchel-Moreau双対性を拡張することは可能か？
• RQ3 双対ペアリングおよび凸共役を、$ X \times Y $ から $ L^0(X) \times L^0(Y) $ に、双対性および完備性を保つように条件付きに拡張する方法は何か？
• RQ4 条件付き集合論は、$ L^0 $-値定義域の関数に対する双対表現の構築にどのように寄与するか？
• RQ5 双対表現 $ f(x) = \operatorname{ess\,sup}_{y \in L^0(Y)} \{ \langle x,y \rangle - f^*(y) \} $ が成り立つ条件は何か。また、どのような場合に失敗するか？

主な発見

• 関数 $ f: X \to \overline{L^0} $ に対して、新たな下半連続性の概念が導入される。これは、条件付き双対ペアリングの収束を用いて定義され、任意の $ y \in Y_c $ および $ X_s $ 内の安定なネット $ (x_\alpha) $ に対して、$ \langle x_\alpha, y \rangle_c \to \langle x, y \rangle_c $ ならば $ f(x) \leq \operatorname{ess\,liminf} f_s(x_\alpha) $ が成り立つ。
• 空間 $ X $ の条件付き完備化は $ L^0(X) $ に等長同型であり、同様に $ Y $ の条件付き完備化も $ L^0(Y) $ に等長同型である。これにより、$ L^0(X) $ および $ L^0(Y) $ がそれぞれ $ X $ および $ Y $ の条件付き完備化であることが示される。
• $ X \times Y $ 上の双対ペアリング $ \langle \cdot, \cdot \rangle $ は、単純関数のほとんど everywhere での極限を用いて $ L^0(X) \times L^0(Y) $ 上に拡張され、$ X_c $ を $ L^0(X) $ に同一視するとき、$ \langle x, y \rangle = \langle x, y \rangle_c $ を満たす。
• 主な双対性結果が確立される：properな凸関数 $ f: X \to \overline{L^0} $ は、すべての $ x \in X $ に対して、$ f(x) = \operatorname{ess\,sup}_{y \in L^0(Y)} \{ \langle x, y \rangle - f^*(y) \} $ が成り立つことと、下半連続性が同値である。ここで $ f^*(y) = \operatorname{ess\,sup}_{x \in X} \{ \langle x, y \rangle - f(x) \} $ である。
• $ I: L^\infty \to L^0 $ である恒等写像は下半連続でなく、形式 (8) のFenchel-Moreau表現をもたない。これは、下半連続性条件の必要性を示している。
• この枠組みは、測度代数に限らず、任意の完備ブール代数に適用可能であり、古典的測度論的設定を超えた結果の堅牢性を示している。