[論文レビュー] Vector fields liftable over corank 1 stable maps

Kevin Houston, Daniel Littlestone|ArXiv.org|May 5, 2009

Advanced Topics in Algebra参考文献 25被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、n次元多様体からn+1次元多様体へのcorank 1安定な複素解析的写像のうち、多重度kの最小正規形について、持ち上げ可能なベクトル場のモジュールの明示的生成子を提供する。3k−2個のベクトル場からなる3つの族を構成し、それらが像超曲面に接するベクトル場のモジュールを生成することを証明する。複素解析関数の上での生成を示し、A_e-codimension 1写像を用いて1パラメータ族における特異点の分類に応用する。

ABSTRACT

Generators for the module of vector fields liftable over corank 1 stable complex analytic maps from an n-manifold to an (n+1)-manifold are found. This is applied to the classification of the singularities occuring in generic one-parameter families of maps between these spaces.

研究の動機と目的

• n < p の場合における持ち上げ可能なベクトル場の一般的構造の欠如、特にn次元からn+1次元へのcorank 1安定写像の文脈で解決する。
• 多重度kの最小安定corank 1写像の像に接するベクトル場のモジュールの明示的生成子を構成する。
• 従来のアルゴリズムの複雑さを克服し、計算可能な特徴付けを提供する。
• 結果を用いて、A_e- codimension 1条件を用いて1パラメータ族における特異点を分類する。
• 線形関数がA_e- codimension 1写像の局所型をもたらすための正確な一般性条件を確立する。

提案手法

• C^{2k−1}からC^{2k−1}への多重度kのcorank 1安定写像の正規形に対して、各族にk−1個のベクトル場を含む3つの族を構成する。
• Singularを用いた記号計算により、小さなk（k < 7）に対して持ち上げ可能なベクトル場を計算し、それらのパターンを一般化して任意のkに拡張する。
• 微分dfと候補となるベクトル場η、ξについて、方程式df ∘ η = ξ ∘ fを解くことで、持ち上げ可能なベクトル場を検証する。
• 複素解析的設定において、オイラー・ベクトル場を補助的生成子として用いる。
• ベクトル場の成分が像の定義方程式hに作用するときのイデアルを解析し、m²での展開を用いて最大イデアルの生成を確認する。
• 自由除因子の理論とA_e- codimensionの理論を用い、ベクトル場モジュールと特異点分類との関係を関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 C^nからC^{n+1}へのcorank 1安定写像の持ち上げ可能なベクトル場のモジュールの構造は何か？
• RQ2 特に多重度kの最小正規形について、このモジュールの明示的生成子をどのように構成できるか？
• RQ3 像上の線形関数にどのような条件を課すと、その引き戻しによりA_e- codimension 1写像の局所型が得られるか？
• RQ4 なぜ3番目のベクトル場族はm²でのイデアル生成過程で冗長なのか？
• RQ5 持ち上げ可能なベクトル場は、特異点の判別式および像超曲面の幾何にどのように関係するか？

主な発見

• 複素解析関数上の持ち上げ可能なベクトル場のモジュールは、3k−2個のベクトル場によって生成され、それらは各k−1個のベクトル場を含む3つの族に加え、オイラー・ベクトル場からなる。
• 像超曲面の定義方程式hは、3つの族に属するすべてのベクトル場ξについてξ(h) = 0を満たす。
• α_{k−2}とβ_{k−1}が非ゼロであれば、ベクトル場の成分とhからなるイデアルがm²で最大イデアルmに等しくなることが示され、完全な生成が証明される。
• 最小クロスキャップ写像φ_kの像上の一般線形関数hの引き戻しは、係数α_{k−2}とβ_{k−1}が非ゼロであれば、A_e- codimension 1写像の局所型をもたらす。
• 3番目のベクトル場族は、m²での成分が最初の族の張る空間に含まれるため、イデアル生成過程で冗長である。
• 従来の研究を改善し、A_e- codimension 1特異点の分類における一般性の明示的かつ計算可能な条件を提供する。