[論文レビュー] Vector invariants of a class of pseudo-reflection groups and multisymmetric syzygies

M. Domokos|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2007

Advanced Algebra and Geometry参考文献 38被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、多対称多項式から導かれる生成子と関係式を用いて、擬反射群のクラス、特に $B_n$ 型のワイル群と対称群を含む、多項式不変量の代数の有限提示を提供する。デルセンの関係式次数の上限とウォラッチ・ガルシアの技法を用いて、第一および第二の基本定理を確立し、不変可換スキームの被約性を証明し、長年の文献における空白を解消する、特徴値に依存しない無限提示を提供する。

ABSTRACT

First and second fundamental theorems are given for polynomial invariants of a class of pseudo-reflection groups (including the Weyl groups of type $B_n$), under the assumption that the order of the group is invertible in the base field. Special case of the result is a finite presentation of the algebra of multisymmetric polynomials. Reducedness of the invariant commuting scheme is proved as a by-product. The algebra of multisymmetric polynomials over an arbitrary base ring is revisited.

研究の動機と目的

• 擬反射群のクラス、特に $B_n$ 型ワイル群と対称群を含む、多項式不変量の第一および第二の基本定理を確立すること。
• 多対称多項式の理論を一般化して、生成子と関係式を用いた $K[V^m]^{G(n,q)}$ の有限提示を提供すること。
• 表現論および代数幾何学の結果を拡張する形で、不変可換スキームの被約性を副産物として証明すること。
• 任意の基底環上で多対称多項式の理論を再考し、特徴値に依存しない新しい無限提示を提供すること。

提案手法

• 著者らは、群 $G(n,q)$（$C_q$ と $S_n$ のワイルド積）の作用を保つ座標環 $K[V^m]$ における多重次数のアプローチを用いる。
• 彼らは $\mathcal{M}(q)$ に属する単項式 $w$ に対して極化作用素 $[w]$ を定義し、トレースに類似した構成により $G$-不変多項式を得る。
• この手法は、デルセンの関係式の次数の上限を応用し、ウォラッチとガルシアのアイデアを適合させて、不変環の有限生成集合と関係式を構成する。
• 主な構成は、$S_n$-作用の下での単項式の軌道和であり、$\mathcal{M}(q)$ 内の単項式の多重集合によって添字づけられる $K[V^m]^G$ の基底を導く。
• $q=1$ の場合、この構成により多対称関数の代数の新しい明確な有限提示が得られる。
• 本稿は、定理 5.5 を用いて、任意の基底環へと結果を拡張し、体の仮定なしに多対称多項式環の新しい特徴値に依存しない無限提示を提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群 $G(n,q)$（$C_q$ と $S_n$ のワイルド積）の多項式不変量の代数の有限提示は何か？
• RQ2 特に $q > 1$ の場合、$K[V^m]^{G(n,q)}$ の生成子間の関係（関係式）はどのように明示的に記述できるか？
• RQ3 $GL(n,\mathbb{C})$-不変量に関連する不変可換スキームは被約のままであるか？ そして、$G(n,q)$ の不変量理論を用いてこれを証明できるか？
• RQ4 特徴値に依存しない多対称多項式環の提示は、体に依存しない形で構成可能か？

主な発見

• 定理 3.2 により、$K[V^m]^{G(n,q)}$ は、$w \in \mathcal{M}(q)$ に対する生成子 $[w]$ とトレース恒等式から導かれる関係式により有限提示をもつことが示された。
• $q=1$ の場合、この構成により多対称関数の代数の有限提示が得られ、一般の特徴値においては先行文献にそのような提示が存在しなかったという空白を解消した。
• 定理 4.1 で示された不変環の基本関係式の結果として、$GL(n,\mathbb{C})$-不変量に関連する不変可換スキームは被約である。
• $K[V^2]^{S_3}$ のヒルベルト系列は $H = \frac{1 + t_1t_2 + t_1^2t_2 + t_1t_2^2 + t_1^2t_2^2 + t_1^3t_2^3}{(1-t_1)(1-t_1^2)(1-t_1^3)(1-t_2)(1-t_2^2)(1-t_2^3)}$ として計算され、基本対称関数の多項式環上での自由性を確認した。
• $K[V^2]^{S_3}$ の生成子間の関係式のイデアルは、基本恒等式 $\Psi_4 = 0$ から導かれる 5 つの関係式により最小生成され、それぞれの双次数は $(3,2), (2,3), (4,2), (2,4), (3,3)$ である。
• 任意の基底環上で、定理 5.5 により多対称多項式環の新しい特徴値に依存しない無限提示が得られ、体の仮定がない状況での既存の結果を強化した。