[論文レビュー] Vector models in the large $N$ limit: a few applications

Jean Zinn‐Justin|ArXiv.org|Oct 23, 1998

Theoretical and Computational Physics被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、O(N)およびU(N)のスカラー場理論に対して大N技術を展開し、大N極限において合成スカラー場が弱い揺らぎを示すことを示した。これにより、基本自由度の統合による有効場理論の構築が可能になる。主な結果は、(φ²)ᴷモデルの二重スケーリング極限が、臨界次元 d = 2K/(K−1) において、質量ゼロのO(N)シングレット束縛状態を生じることであり、これは多臨界的挙動やIR固定点の性質に影響を及ぼす。この性質は、a(d)の符号に依存する。

ABSTRACT

In these lecture notes prepared for the 11th Taiwan Spring School, Taipei 1997}, and updated for the Saalburg summer school 1998, we review the solutions of O(N) or U(N) models in the large N limit and as 1/N expansions, in the case of vector representations. The general idea is that invariant composite fields have small fluctuations for N large. Therefore the method relies on constructing effective field theories for these composite fields after integration over the initial degrees of freedom. We illustrate these ideas by showing that the large N expansion allows to relate the phib^2^2 theory and the non-linear sigma-model, models which are renormalizable in different dimensions. In the same way large N techniques allow to relate the Gross--Neveu, an example of a theory with four-fermi self-interaction, with a Yukawa-type theory renormalizable in four dimensions, a topic relevant for four dimensional field theory. Among other issues for which large N methods are also useful we will briefly discuss finite size effects and finite temperature field theory, because they involve a crossover between different dimensions.\par Finally we consider the case of a general scalar V(phib^2) field theory, explain how the large N techniques can be generalized, and discuss some connected issues like tricritical behaviour and double scaling limit. Some sections in these notes are directly adapted from the work Zinn-Justin J., 1989, Quantum Field Theory and Critical Phenomena, Clarendon Press (Oxford third ed. 1996).

研究の動機と目的

• O(N)やU(N)の対称性を持つ場理論に対して、大N法を非摂動的領域にまで拡張すること。
• (φ²)²理論と非線形σ模型との間の大N双対性を確立すること。
• 大N技術を用いて有限サイズおよび有限温度効果を分析すること。
• 一般のV(φ²)スカラー場理論における多臨界点および二重スケーリング極限を探索すること。
• IR固定点におけるギャップ方程式におけるa(d)の符号が、小質量相に与える役割を明確化すること。

提案手法

• O(N)シングレット合成場φ²の揺らぎを大N極限で抑制することで、有効作用の構築を可能にする。
• ハッブル・ストラタニシュ変換を用いて合成演算子を分離し、基本場を統合する。
• 補助場ρを動的変数とみなして1/N展開を構築し、ρに対する有効作用を導出する。
• ε展開および次元正則化を用いた密度行列群(RG)技術を適用し、臨界挙動を分析する。
• N → ∞ かつ g → gc となるように結合定数とNを調整することで、二重スケーリング極限をとる。ここでΛ² ≫ m²である。
• 鞍点方程式および有効ポテンシャルW(ρ)を用いて相構造を分析し、多臨界点でフラットな方向を同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 大N極限において、(φ²)²理論と非線形σ模型は、異なる次元でどのように関係しているか？
• RQ2 (φ²)ᴷモデルの二重スケーリング極限におけるO(N)シングレット束縛状態の有効場理論の性質は何か？
• RQ3 ギャップ方程式における係数a(d)の符号が、IR固定点および小質量相の存在に与える影響は何か？
• RQ4 3次元において(φ²)³相互作用に対して非自明な二重スケーリング極限を得ることは可能か？
• RQ5 多臨界点付近での正しい有効理論を決定づける要因として、質量のあるO(N)シングレットモードは果たすどのような役割を果たすか？

主な発見

• 臨界次元 d = 2K/(K−1) における(φ²)ᴷモデルの二重スケーリング極限では、有効作用のフラットな方向のおかげで、質量ゼロのO(N)シングレット束縛状態が得られる。
• d = 2K/(K−1) において、1/N補正を相殺するIR特異性は存在せず、結果として非相互作用的有効理論が残存する。
• (φ²)²理論と非線形σ模型は、大N極限において双対的であることが示され、後者は低エネルギー有効理論として現れる。
• ギャップ方程式におけるa(d)の符号が、IR固定点の存在およびベクトル粒子の小質量相の有無を決定づける。
• d = 3で(φ²)³相互作用を考えた場合、非自明な二重スケーリング極限は得られず、通常の臨界点しか存在しない。
• 小m²相は特別な調整が必要であり、a(d)の符号に強く依存しており、N → ∞とm²/Λ² → 0の極限が可換でないことを示唆している。