[論文レビュー] Vector partition function and generalized Dahmen-Micchelli spaces

Corrado De Concini, Claudio Procesi+1 more|ArXiv.org|May 19, 2008

Advanced Operator Algebra Research参考文献 6被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、差分方程式の解を表す古典的DM(X)空間を拡張する、格子上の関数空間である一般化されたDahmen-Micchelli空間$\mathcal{F}(X)$を導入する。$\mathcal{F}(X)$に属する関数の局所化公式を確立し、$\mathfrak{c} - B(X)$という領域においてベクトル分割関数$\mathcal{P}_X$が準多項式であることを証明する。ここで$\mathfrak{c}$はビッグセルであり、$B(X)$は$X$によって生成されるゾノトープである。さらに、その結果としてParadanの壁を越える公式が導かれる。

ABSTRACT

This is the first of two papers on partition functions and the index theory of transversally elliptic operators. In this paper we only discuss algebraic and combinatorial issues related to partition functions. The applications to index theory will appear in a subsequent paper.

研究の動機と目的

• 差分方程式の解を表す古典的$DM(X)$空間を拡張する、格子上の関数空間$\mathcal{F}(X)$を定義し、その性質を調べること。
• $\mathcal{F}(X)$に属する関数の局所化公式を確立し、分割関数$\mathcal{P}_X$の明示的分解を可能にすること。
• $\mathcal{P}_X$が、$\mathfrak{c}$がビッグセルで$B(X)$が$X$のゾノトープである領域$\mathfrak{c} - B(X)$上で準多項式であることを証明すること。
• 分割関数の準多項式成分$\mathcal{P}_X^\mathfrak{c}$のParadanの壁を越える公式を導出すること。

提案手法

• $\mathcal{F}(X)$を、各有理部分空間$\underline{r}$において$\nabla_{X\setminus\underline{r}}f$が台を持つ関数$f$の空間として定義する。
• $\Gamma$上の関数をトーラス$G$上のフーリエ級数として表現するための形式的級数$\Theta(f) = \sum_{\gamma \in \Gamma} f(\gamma) e^{\gamma}$を導入する。
• $X$-正則な族$\mathbf{F}$を用いて、畳み込みおよび平行移動作用素$T_{X\setminus\underline{r}}^{F_{\underline{r}}}$を用いて$G(X)$に属する関数を分解する。
• $f \in G(X)$を、$\underline{r} + C(F_{\underline{r}}, X\setminus\underline{r})$に台を持つ成分へと射影する射影作用素$\pi_X^{\underline{r},F_{\underline{r}}}$を定義する。
• 局所化定理を適用し、トーパー$\tau$上で、$f \in G(X)$が多項式密度$f^\tau \in D(X)$と一致することを示す。
• 有理超平面$H$を越える際の多項式密度の差$f^{\tau_1} - f^{\tau_2}$を、平行移動作用素の差$T_{X\setminus H}^{F_H} - T_{X\setminus H}^{-F_H}$を用いて比較することで、壁を越える公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 差分方程式の解を表す関数空間を、非鋭錐や非正則配置を許容するようにどのように一般化できるか。
• RQ2 ベクトル分割関数$\mathcal{P}_X$は領域$\mathfrak{c} - B(X)$上でどのような構造を持ち、なぜそこでは準多項式であるのか。
• RQ3 $\mathcal{F}(X)$に属する関数に対して、有理部分空間に台を持つ成分に分解できるような局所化公式を構成できるか。
• RQ4 隣接するビッグセルを越えて、準多項式成分$\mathcal{P}_X^\mathfrak{c}$はどのように振る舞い、壁を越える公式はどのような形か。
• RQ5 一般化されたDahmen-Micchelli空間$\mathcal{F}(X)$と横断的楕円型作用素のインデックス理論との間にはどのような関係があるか。

主な発見

• $\mathcal{F}(X)$は分割関数$\mathcal{P}_X$と古典的$DM(X)$空間を含み、差分作用素$\nabla_{X\setminus\underline{r}}$の台の条件によって定義される。
• 任意の$f \in \mathcal{F}(X)$に対して局所化公式が確立され、有理部分空間$\underline{r}$に台を持つ成分への分解が可能である。
• 分割関数$\mathcal{P}_X$は、$\mathfrak{c}$がビッグセルで$B(X)$が$X$のゾノトープである領域$\mathfrak{c} - B(X)$上で準多項式である。
• この分解により、$\mathcal{P}_X^\mathfrak{c}$の準多項式成分に対するParadanの壁を越える公式が導かれる。これは超平面を越える差分作用素を用いて得られる。
• トーパー$\tau$上での多項式密度$f^\tau$は、$f \in G(X)$が$\tau$上で一致する唯一の成分であり、畳み込みと平行移動作用素を用いて構成される。
• 一般の$f \in G(X)$に対して、壁を越える公式$f^{\tau_1} - f^{\tau_2} = (T_{X\setminus H}^{F_H} - T_{X\setminus H}^{-F_H}) * (\partial_{X\setminus H}f)^{\tau_{12}}$が証明され、鋭錐の場合にはKhovanskii-Pukhlikovの公式に特殊化される。