[論文レビュー] Vector rearrangement invariant banach spaces of random variables with exponential decreasing tails of distributions

Eugeny Ostrovsky, L. Sirota|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2015

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 9被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、指数的尾部を有する確率変数のベクトル再配置不変バナッハ空間を、多変量の場合に拡張し、ヤング＝フェンヒェル双対性を用いて $ B(\phi) $ ノルムとグランドルベーグ空間（GLS）ノルムの等価性を確立する。中心化された多変量確率的ベクトルに対する $ B(\phi) $ ノルムは、$ N_{\phi}(\vec{u}) = \exp(\phi^*(\vec{u})) - \exp(\phi^*(0)) $ で定義されるオルリーツノルムと等価であり、多変量のベルンシュタインおよびフェンヒェル＝モローイの定理を用いて、非漸近的指数的尾部バウンドを導出する。

ABSTRACT

We present in this paper the theory of multivariate Banach spaces of random variables with exponential decreasing tails of distributions.

研究の動機と目的

• 一変量から多変量の確率的ベクトルへ、指数的尾部を有する再配置不変バナッハ空間の理論を拡張すること。
• 中心化された確率的ベクトルに対して $ B(\phi) $ ノルムとグランドルベーグ空間（GLS）ノルムの等価性を確立すること。
• モーメント母関数と凸共役を用いて、確率的ベクトルに関連する自然関数 $ \phi $ を特徴付けること。
• 多変量モーメント法を用いて、同分布の中心化された確率的ベクトルの和に対する非漸近的指数的尾部推定値を導出すること。

提案手法

• すべての $ \lambda \in (-\lambda_0, \lambda_0)^d $ に対して $ \mathbb{E}\exp(\pm \lambda \cdot \xi) \leq \exp(\phi(\lambda \tau)) $ を満たすような中心化された $ d $ 次元確率的ベクトルに対する $ B(\phi) $ 空間を定義する。
• GLS ノルム $ \|\xi\|_{G(\psi)} = \sup_{p \geq 1} \left[ \mathbb{E}|\xi|^p \right]^{1/p} / \psi(p) $ を定義する。ここで $ \psi(p) = p / \phi^{-1}(p) $ である。
• ヤング＝フェンヒェル変換 $ \phi^* $ を用いて、$ N_{\phi}(\vec{u}) = \exp(\phi^*(\vec{u})) - \exp(\phi^*(0)) $ を用いてオルリーツノルムを定義する。
• 双対性およびサドルポイント法を用いて、$ \|\cdot\|_{B(\phi)} $、$ \|\cdot\|_{G(\psi)} $、および $ \|\cdot\|_{L(N_{\phi})} $ の等価性を証明する。
• フェンヒェル＝モローイの定理 $ \phi^{**} = \phi $ を用いて、双対構造の正当性を裏付ける。
• チェルノフ型推定と多変量ベルンシュタインの定理を適用し、$ \sup_n U(S(n), \vec{x}) \geq \max\left( U(\vec{\xi}, \vec{x}), \exp(-C(Q)|x|^2) \right) $ を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多変量確率的ベクトルのモーメント母関数が、凸的かつ偶関数で、2回連続的に微分可能な関数 $ \phi $ を用いて $ \exp(\phi(\lambda)) $ として表現可能となる条件は何か？
• RQ2 多変量設定において、$ B(\phi) $、GLS、およびオルリーツノルムはどのように関係し、互いに等価であるか？
• RQ3 多変量モーメント母関数および凸共役を用いて、同分布の確率的ベクトルの和に対する非漸近的指数的尾部推定値を導出可能か？
• RQ4 確率的フィールドの尾部挙動を特徴付ける自然関数 $ \phi_0(\lambda) = \max_{\pm} \log \sup_{t} \mathbb{E}\exp(\pm \lambda \xi(t)) $ の役割は何か？
• RQ5 ノルムの等価性が保証されているにもかかわらず、ローゼンタール型のモーメント不等式が最適な尾部バウンドを導けないのはなぜか？

主な発見

• 中心化された $ d $ 次元確率的ベクトルに対する $ B(\phi) $ ノルムは、$ \psi(p) = p / \phi^{-1}(p) $ を用いた GLS ノルム $ \|\xi\|_{G(\psi)} $ と等価であり、等価定数 $ C_1, C_2 $ は $ \phi $ と $ d $ のみに依存する。
• 中心化された $ d $ 次元確率的ベクトルに対する $ B(\phi) $ ノルムは、$ N_{\phi}(\vec{u}) = \exp(\phi^*(\vec{u})) - \exp(\phi^*(0)) $ を用いたオルリーツノルム $ \|\xi\|_{L(N_{\phi})} $ と等価であり、等価定数 $ C_5, C_6 $ は $ d $ と $ \phi $ に依存する。
• $ U(\vec{\xi}, \vec{x}) \leq \exp(-|\vec{x}|^p) $ を満たす i.i.d. で中心化された確率的ベクトルに対して、正規化された和の尾部の上界は、$ |\vec{x}| \geq 1 $ に対して $ \sup_n U(S(n), \vec{x}) \leq \exp(-C(d,p) |\vec{x}|^{\min(p,2)}) $ を満たし、このバウンドは鋭い。
• 確率的ベクトルの自然関数 $ \phi_0(\lambda) $ は常に絶対的に偶関数であり、任意の $ \epsilon \in \{\pm 1\}^d $ に対して $ \phi_0(\epsilon \otimes \vec{x}) = \phi_0(\vec{x}) $ を満たす。
• 確率的ベクトルに関連する関数 $ \phi $ は、$ \phi^{**} = \phi $ を満たす必要があり、これによりヤング＝フェンヒェル変換下でも双対構造が保たれる。
• ローゼンタールの不等式が最適なバウンドを導けないのは、その定数 $ R(p) \asymp p / \log p $ が $ p \to \infty $ のとき発散するためであり、これは $ B(\phi) $ ベースの推定値とは異なり、最適性に欠ける。