[論文レビュー] Vector-valued Littewood-Paley-Stein theory for semigroups II

Quanhua Xu|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2018

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 25被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、対称的拡散半群およびその離散的類似物に対する鋭い不等式を確立することで、ベクトル値 Littlewood-Paley-Stein 理論における長年の未解決問題を解決する。Hyt{"o}nen と Naor の手法の新規な適応を用いて、任意の $1 < p < \infty$ および一様凸なバナッハ空間 $X$ に対して、対称マルコフ作用素 $T$ の $L_p(\Omega;X)$ 上への拡張が解析的であることを証明し、マルティングール型および型の性質を用いて半群の高階導関数の $L_p$ 界を確立する。

ABSTRACT

Inspired by a recent work of Hytönen and Naor, we solve a problem left open in our previous work joint with Mart\'ınez and Torrea on the vector-valued Littlewood-Paley-Stein theory for symmetric diffusion semigroups. We prove a similar result in the discrete case, namely, for any $T$ which is the square of a symmetric Markovian operator on a measure space $(Ω, μ)$. Moreover, we show that $T\otimes{ m Id}_X$ extends to an analytic contraction on $L_p(Ω; X)$ for any $1

研究の動機と目的

• 元の対称的拡散半群 $\{T_t\}_{t>0}$ に対して、Stein の不等式が、そのサブオーダーされたポisson 半群ではなく、元のものに対しても成り立つかどうかという、ベクトル値 Littlewood-Paley-Stein 理論における未解決問題を解消すること。
• 理論を離散的設定に拡張し、測度空間上での対称的マルコフ作用素の平方である作用素 $T$ に対して類似の不等式を証明すること。
• $1 < p < \infty$ および任意の一様凸バナッハ空間 $X$ に対して、$T \otimes \mathrm{Id}_X$ が $L_p(\Omega;X)$ 上に解析的収縮作用素として拡張されることを確立すること。
• 目標バナッハ空間 $X$ のマルティングール型および型の性質を用いて、平方関数 $\left(\int_0^\infty \|t^k \partial^k T_t f\|_X^q \frac{dt}{t}\right)^{1/q}$ の有界性を特徴付けること。

提案手法

• Hyt{"o}nen と Naor の最近のリップシッツ近似に関する研究における鍵的なアイデアを、ベクトル値設定および離散ケースに拡張する。
• Stein の複素補間道具を用いて、端点ケースからの境界を $1 < p < \infty$ 全体に拡張し、[15] の鍵的な補題の離散的類似を応用する。
• 自己随伴収縮作用素のスペクトル理論および Katznelson-Tzafriri 定理を用いて、スペクトル条件の下で $T$ が $L_p(\Omega;X)$ 上で解析的であることを確立する。
• Littlewood-Paley-Stein 不等式における連続的平方関数の離散的類似として、離散的平方関数 $\left(\sum_{n=1}^\infty n^{q-1} \| (T^n - T^{n-1})f \|_X^q \right)^{1/q}$ を用いる。
• マルティングール型 $q$ と型 $q'$ の双対性に依拠し、$X$ がマルティングール型 $q$ であることと $X^*$ がマルティングール型 $q'$ であることの同値性を用いる。
• 複素補間を用いて、ヒルベルト空間をターゲットとする解析性結果を、ヒルベルト空間と他の UMD 空間の間の複素補間空間へと拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のバナッハ空間をターゲットとする場合、元の対称的拡散半群 $\{T_t\}_{t>0}$ に対して、ベクトル値 Littlewood-Paley-Stein 不等式が、そのポアソンのサブオーダー版ではなく成り立つかどうか。
• RQ2 理論を離散的設定に拡張でき、特に $T$ が測度空間上での対称的マルコフ作用素の平方である場合に、マルティングール型および型を用いた鋭い $L_p$ 界が成り立つかどうか。
• RQ3 $X$ が一様凸バナッハ空間であるとき、任意の $1 < p < \infty$ に対して、対称的マルコフ作用素 $T$ の $L_p(\Omega;X)$ 上への拡張が解析的であるか。
• RQ4 離散的平方関数 $\left(\sum_{n=1}^\infty n^{q-1} \| (T^n - T^{n-1})f \|_X^q \right)^{1/q}$ が、$X$ がマルティングール型 $q$ である場合に、$\|f\|_{L_p(\Omega;X)}$ と同等の $L_p$-有界性不等式を満たすか。
• RQ5 結果を $K$-凸バナッハ空間のターゲットや UMD 空間へと拡張できるか、特に離散的設定において。

主な発見

• 本稿は、任意の一様凸バナッハ空間 $X$ に対して、$1 < p < \infty$ 全体で $T \otimes \mathrm{Id}_X$ が $L_p(\Omega;X)$ 上に解析的収縮作用素として拡張されることを確立し、解析性に関する重要な問いを解決する。
• $1 < p < \infty$ および $X$ がマルティングール型 $q$ で $2 \leq q < \infty$ である場合、定数 $C$ が $p$, $q$, $k$, および $X$ の型定数にのみ依存するように、不等式 $\left\| \left( \int_0^\infty \| t^k \partial^k T_t f \|_X^q \frac{dt}{t} \right)^{1/q} \right\|_{L_p(\Omega)} \leq C \|f\|_{L_p(\Omega;X)}$ が成り立つ。
• 離散的状況では、$T$ が対称的マルコフ作用素の平方であり、$X$ がマルティングール型 $q$ である場合、すべての $1 < p < \infty$ に対して不等式 $\left\| \left( \sum_{n=1}^\infty n^{q-1} \| (T^n - T^{n-1})f \|_X^q \right)^{1/q} \right\|_{L_p(\Omega)} \lesssim \|f\|_{L_p(\Omega;X)}$ が成り立ち、定数は $p$, $q$, および型定数にのみ依存する。
• 本稿は、離散的平方関数不等式が複素補間を用いて連続的不等式を導くことができ、逆も同様に成り立つことを証明し、[15] の鍵的な補題の離散的類似を用いる。
• $X$ がヒルベルト空間と他の UMD 空間の複素補間空間である場合、Stein の補間および Katznelson-Tzafriri 定理を用いて、すべての $1 < p < \infty$ に対して $T$ が $L_p(\Omega;X)$ 上で解析的であることが示される。
• 本稿は、結果が $K$-凸ターゲットや UMD 空間へと拡張可能かどうかは未解決のままとしているが、特に離散的設定においてそのような拡張のための枠組みを提供する。