[論文レビュー] Vector valued $q$-variation for differential operators and semigroups I

Guixiang Hong, Tao Ma|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2014

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 33被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、マルティングール・コトープ $q_0$ を持つバナッハ空間における微分作用素および対称拡散セミグループに対して、ベクトル値 $q$-変動不等式を確立し、ピジエおよびクスのマルティングール結果を一般化するとともに、調和解析およびエルゴディック理論における古典的な変動不等式を拡張する。主な貢献は、このような不等式に必要なのはラドマッハ・コトープ $q$ であることを示したことであり、結果として、バナッハ空間の幾何的性質に依存する定量的収束速度が得られる。

ABSTRACT

In this paper, we establish $\mathcal B$-valued variational inequalities for differential operators, ergodic averages and symmetric diffusion semigroups under the condition that Banach space $\mathcal B$ has martingale cotype property. These results generalize, on the one hand Pisier and Xu's result on the variational inequalities for $\mathcal B$-valued martingales, on the other hand many classical variational inequalities in harmonic analysis and ergodic theory. Moreover, we show that Rademacher cotype $q$ is necessary for the $\mathcal B$-valued $q$-variational inequalities. As applications of the variational inequalities, we deduce the jump estimates and obtain quantitative information on the rate of convergence. It turns out the rate of convergence depends on the geometric property of the Banach space under consideration, which considerably improve Cowling and Leinert's result where it is shown that the convergence always holds for all Banach spaces.

研究の動機と目的

• 調和解析およびエルゴディック理論におけるスカラー値変動不等式を、バナッハ空間の幾何学的性質を用いてベクトル値設定に拡張すること。
• $\mathcal{B}$-値 $q$-変動不等式が成り立つために必要な幾何的条件である「マルティングール・コトープ $q_0$」を同定すること。
• セミグループおよび微分作用素の点ごとの収束速度に対する定量的推定を提供し、コーウリングおよびレインターの一般収束結果を改善すること。
• ジャンプ推定を導出し、それらを $q$-変動ノルムと関連づけ、指数 $q$ の鋭さを示すこと。

提案手法

• バナッハ空間 $\mathcal{B}$ 内の家族 $(a_t)_{t>0}$ に対する $V_q(\mathcal{B})$-ノルムを、時間の増加列における上界を用いて定義する。
• $\mathcal{B}$ のマルティングール・コトープ性を用いて、ピジエおよびクスのマルティングール $q$-変動不等式を微分作用素および対称拡散セミグループに適応する。
• 合同的正則セミグループの理論と密度論的議論を用いて、$L^p$-有界性を $L^p(\Omega; \mathcal{B})$-値作用素に拡張する。
• $\lambda$-ジャンプ関数 $N(a,\lambda)$ を用いて、$\lambda$ を超えるジャンプ数の $L^p$-推定を導出し、それらを $V_q(\mathcal{B})$-ノルムと関連づける。
• 補間理論を用い、$\mathcal{B}$ がヒルバート空間と、マルティングール・コトープ $q_1 > q_0$ を持つ他のバナッハ空間の補間空間であると仮定する。
• 平均エルゴディック定理を適用して $L^p(\Omega)$ を分解し、$\mathcal{B}$-ノルムにおける個々のエルゴディック収束を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バナッハ空間 $\mathcal{B}$ にどのような幾何的条件が満たされると、微分作用素およびセミグループに対して $\mathcal{B}$-値 $q$-変動不等式が成り立つか？
• RQ2 このような不等式に対して、ラドマッハ・コトープ $q$ 条件は必要であり、弱めることが可能か？
• RQ3 変動不等式は、$t \to 0^+$ または $t \to \infty$ のとき $T_t f$ の点ごとの収束速度に関する定量的情報を提供できるか？
• RQ4 ジャンプ推定は $V_q(\mathcal{B})$-ノルムとどのように関係し、指数 $q$ の鋭さは何か？
• RQ5 収束速度は、バナッハ空間の幾何的性質に依存する程度は何か？ あるいは、すべての空間に一様に成り立つものか？

主な発見

• $\mathcal{B}$ がマルティングール・コトープ $q_0$ を持ち、$2 \leq q_0 < \infty$ かつ $q > q_0$ であれば、$\mathcal{B}$-値 $q$-変動不等式は微分作用素および対称拡散セミグループに対して成り立つ。
• $\mathcal{B}$-値 $q$-変動不等式が成り立つためには、ラドマッハ・コトープ $q$ が必要であることが示され、ヒルバート空間の場合の鋭さによって裏付けられている。
• $q > q_0$ に対して、ジャンプ推定 $\left\| \omega \mapsto N((T_t f)(\omega), \lambda)^{1/q} \right\|_p \lesssim \|f\|_{L^p(\mathcal{B})}/\lambda$ が成り立ち、$\mu\{\omega : N(\cdot, \lambda) > K\} \lesssim \|f\|_{L^p(\mathcal{B})}^{p} / (\lambda^p K^{p/q})$ が成り立つ。
• $t \to 0^+$ のとき $T_t f(\omega)$ が $f(\omega)$ に、$t \to \infty$ のとき $P_A f(\omega)$ に収束する点ごとの収束速度は、$\mathcal{B}$ の幾何的性質、特にそのマルティングール・コトープ $q_0$ によって定量的に制御される。
• コーウリングおよびレインターの一般収束結果を改善し、収束速度がバナッハ空間の幾何的性質に依存することを示した。
• $q < q_0$ のとき、$q$-変動不等式は成り立たない。特に、ヒルバート空間の場合の2-変動不等式の失敗によって、指数 $q_0$ の鋭さが示されている。